Mostrar $ λ_V(x) \leq min\{λ_1(x),\cdots,λ_n(x)\}$ Función de riesgo

Question

Supongamos que $X_1, \cdots, X_n$ son funciones continuas independientes y no negativas, cada una de las cuales $X_i$ tiene una función de riesgo $\lambda_i(x)$ .

Si $V=\max\{X_1, \cdots, X_n\}$ Necesito demostrar que $\lambda_V(x)\leq \min\{\lambda_1(x),\cdots, \lambda_n(x)\}$ .

Sé que $\displaystyle\lambda_V(x)=\frac{f_V(x)}{1-F_V(x)}=\frac{\sum_j f_j(x)\prod_{i\neq j}F_i(x)}{1-\prod_{i=1}^n F_i(x)}$ .

Sin embargo, estoy atascado aquí.

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

La afirmación de que hay que demostrar parece ser falsa. Para un contraejemplo, dejemos que $X_1 \sim \textrm{Exp}(1)$ para que $\lambda_1(x) = 1$ . Definamos $X_2$ por una función de riesgo a trozos: \begin{equation} \lambda_2(x) = \left\{ \begin{array}{ll} a & \quad x \leq 1 \\ b & \quad x > 1 \end{array} \ derecho.., \fin donde $a,b>0$ . La FCD de $X_2$ es \begin{equation} F_2(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1-e^{-ax} & \quad x \leq 1 \\ 1-e^{-a}e^{-b(x-1)} & \quad x > 1 \end{array} \derecha. \fin{ecuación} Entonces, omitiendo los pasos intermedios, calculamos la tasa de riesgo de $V = \max(X_1,X_2)$ para $x>1$ para ser \begin{equation} \lambda_V(x) = \frac{e^{-x}(1-e^{-a}e^{-b(x-1)}) +be^{-a}e^{-b(x-1)}(1-e^{-x})}{1 - (1-e^{-a}e^{-b(x-1)})(1-e^{-x})}. \end{equation} Ahora, consideremos el límite de esta expresión como $b\rightarrow 0$ (para algunos fijos $x>1$ ). \begin{equation} \lim_{b\rightarrow 0} \lambda_V(x) = \frac{e^{-x}(1-e^{-a})}{1-(1-e^{-a})(1-e^{-x})}>0. \end{equation} Como el límite es alguna constante positiva, la selección de un $b>0$ llevará a $\lambda_V(x)>b$ lo que supone una contradicción con la afirmación.

Una intuición: digamos que tenemos un sistema que se rompe cuando los dos componentes $1,2$ romper. La afirmación dice que la tasa de riesgo del sistema es menor que la tasa de riesgo de los componentes. Sin embargo, nuestro contraejemplo tiene un componente que es probable que se rompa durante el primer día de uso, pero después de sobrevivir al primer día es extremadamente fiable. El sistema sigue sin ser extremadamente fiable durante el segundo día: es muy plausible que el segundo componente se haya roto durante el primer día y que el primero se rompa ahora.