cómo mostrar $\int|f|^{p} \mathrm{d} \mu=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}^{p}}{n^{2}}$ ?

Question

Dejemos que $(X,\mathbb{X}, \lambda)$ sea un espacio de medidas.

Pregunta

Dejemos que $X=\mathbb{N}$ y que $\mathbb{X}$ sea la colección de todos los subconjuntos de $\mathbb{N}$ . Sea $\lambda$ sea definido por $$ \lambda(E)=\sum_{n \in E}\left(1 / n^{2}\right), E \in \mathbb{X} $$ (a) Demuestre que $f: X \rightarrow \mathbb{R}, f(n)=\sqrt{n}$ satisface $f \in L_{p}$ si y sólo si $1 \leq p<2 .$

Solución

Tenemos que $$ \int|f|^{p} \mathrm{d} \mu=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}^{p}}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty} n^{p / 2-2} $$ Así, $f \in L_{p}$ si y sólo si $(p / 2-2)<-1$ lo que ocurre si y sólo si si $1 \leq p<2$

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No entiendo cómo se obtiene la primera igualdad. ¿Cómo la encontramos? $$\int|f|^{p} \mathrm{d} \mu=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}^{p}}{n^{2}}$$

Probé con la definición de la integral de Lebesgue tratando de encontrar una aproximación mediante una función simple $\phi$ de la función $f$ , pero no puedo encontrar $\phi$ con esta respuesta.

Answer 1

La medida $\lambda$ es una distribución de masas puntuales en los números naturales por lo que la integral $\int_{\Bbb{N}}|f(x)|^pd\lambda(x)=\sum_{n=1}^{\infty}|f(n)|^p\frac{1}{n^2}$

Echa un vistazo a estas notas para ver la definición de la integral con respecto a una distribución de masa puntual.

http://fourier.math.uoc.gr/~papadim/teoria_de_medida.pdf