Intersección de curvas planas lisas proyectivas

Question

Necesito calcular el número de intersecciones de las curvas suaves del plano proyectivo definidas por el lugar cero de los polinomios homogéneos $$ F(x,y,z)=xy^3+yz^3+zx^3\text{ (its zero locus is called the }Klein\text{ }Curve\text{)} $$ y $$ G(x,y,z)=\dfrac{\partial F}{\partial z}=3z^2y+x^3 $$ Se ve fácilmente que ambos son homogéneos y no singulares (por tanto irreducibles). Creo que el número de intersecciones es 4, ¡pero no tengo ninguna base en teoría de curvas algebraicas para demostrarlo!

Answer 1

Supongo que estás trabajando sobre los números complejos, y en ese caso, como ya se ha mencionado, por Teorema de Bezout , hay 12 puntos de intersección, contados con sus multiplicidades.

Pero en este caso particular, no es tan difícil encontrar los puntos reales de intersección como sigue. Primero encontramos los puntos en el infinito, es decir, los puntos $[X, Y, 0] \in \mathbb{P}^2$ .

Puntos en el infinito

Dejemos que $Z = 0$ entonces sus ecuaciones se convierten en

$$ \begin{cases} XY^3 &= 0\\ X^3 &= 0 \end{cases} \implies X = 0,\, Y\neq 0 $$ Por lo tanto, obtenemos un solo punto de intersección en el infinito, a saber, el punto $[0, Y, 0] = [0, 1, 0]$ .

Puntos en el plano afín $\mathbb{A}^2 = \{ [X, Y, Z] \in \mathbb{P}^2 \mid Z \neq 0 \}$

Ahora, supongamos que $Z \neq 0$ para poder deshomogeneizar la ecuación con respecto a $Z$ . Por lo tanto, consideramos el sistema

$$ \begin{cases} f(x, y) = F(x, y, 1) = xy^3 + y + x^3 &= 0\\ g(x, y) = G(x, y, 1) = 3y + x^3 &= 0 \end{cases} $$

A partir de la segunda ecuación se puede resolver $y$ en términos de $x$ y luego se introduce en la primera ecuación para obtener una ecuación de grado 10 en $x$ que, por suerte, es fácil de resolver. Al final, suponiendo que no haya cometido ningún error, se obtienen los puntos "afines" $[0, 0, 1]$ y

$$ \left[ \sqrt[7]{18} \zeta_7^k, -\frac{\sqrt[7]{18^3} \zeta_7^{3k} }{3}, 1 \right] $$

donde $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ y $\zeta_7 = e^{2\pi i /7}$ es una raíz séptima primitiva de la unidad.

Por lo tanto, si todo es correcto, hay $9$ diferentes puntos de intersección.

El siguiente gráfico muestra los puntos de intersección reales $(0, 0)$ y $\left(\sqrt[7]{18}, -\frac{\sqrt[7]{18^3}}{3} \right)$ . Parece que el origen $(0, 0)$ es un punto de inflexión, por lo que su multiplicidad sería al menos 3.

Cálculo de las multiplicidades

Calcularemos las multiplicidades de los $9$ puntos de intersección indicados anteriormente. Como comenta Georges Elencwajg más adelante, resultará que la multiplicidad del origen $[0, 0, 1]$ es $3$ la multiplicidad del punto en el infinito $[0, 1, 0]$ es $2$ y la multiplicidad de los puntos restantes $P_k := \left[ \sqrt[7]{18} \zeta_7^k, -\frac{\sqrt[7]{18^3} \zeta_7^{3k} }{3}, 1 \right]$ es $1$ .

En primer lugar, recordemos que la multiplicidad de la intersección de las curvas $C_F: F = 0$ y $C_G: G = 0$ , denotado por $I_P(C_F, C_G)$ , en un punto $P$ viene dada por la dimensión como $\mathbb{C}$ -espacio vectorial del siguiente anillo cociente

$$ I_P(C_F, C_G) = \dim_\mathbb{C}{ \mathcal{O}_{ \mathbb{P}^2, P} } / \langle F, G \rangle $$

donde $\mathcal{O}_{ \mathbb{P}^2, P}$ es el anillo local de $\mathbb{P}^2$ en $P$ .

Multiplicidad del origen $[0, 0, 1]$

Una vecindad afín del origen se obtiene deshomogeneizando con respecto a $Z$ . El punto correspondiente en la vecindad afín es $(0, 0)$ para que el anillo local sea $\mathcal{O}_{ \mathbb{P}^2, [0, 0, 1]} = \mathbb{C}[x, y]_{(x, y)} = \left \{ \frac{a(x, y)}{b(x, y)} \in \mathbb{C}(x, y) \mid b(0, 0) \neq 0 \right \}$ . Ahora debemos hacer el cociente por el ideal $\langle xy^3 + y + x^3, 3y + x^3 \rangle$ en $\mathbb{C}[x, y]_{(x, y)}$ . Observe que

$$ \begin{array} (\langle xy^3 + y + x^3, 3y + x^3 \rangle &= \langle xy^3 + y + x^3 - (3y+ x^3), 3y + x^3 \rangle = \langle xy^3 - 2y, 3y + x^3 \rangle\\ & = \langle y\underbrace{(xy^2 - 2)}_{\text{unit in $\mathbb{C}[x, y]_{(x, y)}$}}, 3y + x^3 \rangle = \langle y, 3y + x^3 \rangle = \langle y, x^3 \rangle \end{array} $$

De ahí que los elementos $1, x, x^2$ forman la base de la $\mathbb{C}$ -espacio vectorial $\mathcal{O}_{ \mathbb{P}^2, [0, 0, 1]} / \langle y, x^3 \rangle$ para que la multiplicidad de la intersección $I_{[0, 0, 1]} (C_F, C_G) = 3$ .

Multiplicidad del punto en el infinito $[0, 1, 0]$

Ahora se puede obtener una vecindad afín deshomogeneizando con respecto a $Y$ . El punto correspondiente en la vecindad afín es $(0, 0)$ de nuevo, pero ahora el anillo local $\mathcal{O}_{ \mathbb{P}^2, [0, 1, 0]} = \mathbb{C}[x, z]_{(x, z)}$ . Los polinomios no homogéneos son ahora $h(x, z) = F(x, 1, z) = x + z^3 + zx^3$ y $t(x, z) = G(x, 1, z) = 3z^2 + x^3$ .

Entonces el ideal $\langle h, t \rangle$ puede simplificarse como sigue.

$$ \begin{array} (\langle h, t \rangle &= \langle x + z^3 + zx^3 , 3z^2 + x^3 \rangle = \langle x + z^3 + zx^3 - \frac{z}{3}(3z^2 + x^3), 3z^2 + x^3 \rangle \\ &= \langle x + \frac{2}{3}zx^3 , 3z^2 + x^3 \rangle = \langle x\underbrace{( 1 + \frac{2}{3}zx^2)}_{\text{unit in $\mathbb{C}[x, z]_{(x, z)}$}} , 3z^2 + x^3 \rangle \\ &= \langle x, 3z^2 + x^3 \rangle = \langle x, z^2 \rangle \end{array} $$

Por lo tanto, un $\mathbb{C}$ -para el espacio vectorial ${ \mathcal{O}_{ \mathbb{P}^2, [0, 1, 0]} } / \langle x, z^2 \rangle$ viene dada por los elementos $1, z$ para que su dimensión sea $2$ y por lo tanto la multiplicidad de la intersección es $I_{[0, 1, 0]} (C_F, C_G) = 2$ .

Multiplicidades de los puntos $P_k$

Finalmente, como por el teorema de Bezout sabemos que

$$ \sum_{P \in C_F \cap C_G} I_P(C_F, C_G) = 12 $$

y tenemos

$$ \begin{array} .\sum_{P \in C_F \cap C_G} I_P(C_F, C_G) = I_{[0, 0, 1]}(C_F, C_G) + I_{[0, 1, 0]}(C_F, C_G) + \sum_{k = 0}^{6} I_{P_k}(C_F, C_G)\\ = 3 + 2 + \sum_{k = 0}^{6} I_{P_k}(C_F, C_G) \end{array} $$

entonces esto significa que cada uno de los siete puntos $P_k$ tiene multiplicidad $1$ .

Answer 2

Por el teorema de Bezout las curvas se intersectarán en $\text{deg}(F)\cdot \text{deg}(G)=12$ puntos cuando se cuenta con multiplicidad.