¿Por qué están tan definidos el momento ADM y el momento angular?

Question

En la sección 4.3 del libro "A relativist's toolkit" de Eric Poisson, se explica se explica cómo extraer el momento angular ADM del Hamiltoniano ADM Hamiltoniano. Dice que basta con sustituir el lapso $N$ y el cambio $N^a$ con las componentes del campo vectorial asociado a la cantidad que se busca. Por ejemplo, el momento angular se recupera sustituyendo $N=0$ y $$ N^a=\phi^a $$ donde $\phi^a$ es el generador de rotaciones en el infinito asintótico. (Igualmente, muchas referencias dicen que el momento ADM $P_b$ se recupera para $N=0$ y $$ N^a=\delta^a_b $$ . )

Veo que este "truco" te devuelve los momentos correctos, pero no entiendo cuál es la razón de ser.

Entiendo el procedimiento de la energía ADM, en el que se sustituye $N=1$ y $N^a=0$ porque, naturalmente, el hamiltoniano está asociado a la energía. Pero no entiendo la conexión del mismo Hamiltoniano con los otros momentos.

Answer 1

En la forma ADM de la Relatividad General, debemos aplicar la descomposición 3+1 a todo el espacio-tiempo y la forma de evolucionar el corte de tiempo es arbitraria. Esta arbitrariedad se refleja en la arbitrariedad del vector $(N,N^a)$ .

Supongamos que la "coordenada espacial" de una partícula es fija y denotamos el vector tangente de su línea del mundo como $t^{\alpha}$ tenemos (ecuación 4.36 de su libro de texto) $$t^{\alpha} = N n^{\alpha} + N^a e_a^{\alpha}$$ Y el Hamiltoniano es el generador de la evolución en la dirección $t^{\alpha}$ .

En el espacio-tiempo plano asintótico, tenemos coordenadas asintóticas de Minkowski $(\bar{t},\bar{x},\bar{y},\bar{z})$ . A grandes rasgos, para un observador en reposo en el infinito, su reloj es $\bar{t}$ y su gobernante es $\bar{x},\bar{y},\bar{z}$ . A partir de ahora, denotaremos esta coordenada como $x^{\alpha}$ .

Ahora, elijamos el tramo de tiempo inicial como $\Sigma_{\bar{t}}$ . En esta franja de tiempo, elegimos $y^a$ lo mismo que $\bar{x},\bar{y},\bar{z}$ . Así que en el infinito, que es plano, tenemos $$n^{\alpha} = \delta^{\alpha}_{0}, e_a^{\alpha} = \delta^{\alpha}_a.$$ El vector de evolución se convierte ahora en $$t^{\alpha} = N\delta^{\alpha}_0 + N^a\delta^{\alpha}_a.$$ Si $N = 1$ y $N^a = 0$ tenemos $$t^\alpha = (1,0,0,0)$$ Así, el hamiltoniano es el generador de la evolución en dirección $\bar{t}$ . Es sólo la energía de todo el espacio-tiempo, al menos para el observador en el infinito.

Si $N = 0$ y $N^a = \delta^a_b$ tenemos $$t^\alpha = \delta^{\alpha}_b$$ Así, el hamiltoniano es el generador de la evolución en dirección $x^b$ . Es sólo el impulso en la dirección $x^b$ de todo el espacio-tiempo, al menos para el observador en el infinito.

Si $N = 0$ y $N^a = \phi^a = \frac{\partial y^{a}}{\partial \phi}$ tenemos $$t^\alpha = \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial \phi}$$ Por ejemplo, para la rotación en $\bar{z}$ dirección, tenemos $$\bar{x} = r\sin\theta\cos\phi, \; \bar{y} = r\sin\theta\sin\phi, \; \bar{z} = r\cos\theta$$ entonces tenemos $$t^{\alpha} = r\sin\theta(0,-\sin\phi, \cos\phi,0)$$ Así pues, el hamiltoniano es el generador de la rotación de la evolución en torno a $\bar{z}$ . Es sólo el momento angular en dirección $\bar{z}$ de todo el espacio-tiempo, al menos para el observador en el infinito.