Prueba en Montgomery y Vaughan

Question

En la teoría de los números multiplicativos, Montgomery y Vaughan proporcionan una identidad para la función zeta de Riemann.

Pero en el paso 1 no me queda claro cómo separaron la suma, en el paso 2 estoy completamente perdido en cómo llegaron a esas integrales (ese paso es el que más problemas me da) y en el paso 3 no sé cómo integraron por partes. Necesito alguna aclaración. Me parece que no escribieron varios pasos.

Answer 1

Para el primer paso, la primera la suma es de $1$ a $\lfloor x\rfloor$ y el otro es de $\lfloor x\rfloor+1$ a $+\infty$ . Para el segundo paso, $\lfloor u\rfloor=u-\{u\}$ por lo tanto $d\lfloor u\rfloor=du-d\{u\}$ . En cuanto al paso 3, la integración por partes da que $$ \int_x^{+\infty}u^{-s}d\{u\}=\left[u^{-s}\{u\}\right]_x^{+\infty}-\int_x^{+\infty}\{u\}d(u^{-s})=x^{-s}\{x\}+s\int_x^{+\infty}\{u\}u^{-s-1}du $$ Y la integral $\int_x^{+\infty}u^{-s}du$ puede calcularse fácilmente, su valor es $\frac{x^{1-s}}{s-1}$ para que al final obtengas el resultado.