¿Puede existir esa matriz "ortogonal"?

Question

Sé que la definición de una matriz ortogonal es que $A \in \mathbb R^{n \times n}$ es ortogonal si $AA^T = A^T A=I$ No hay problema con eso en absoluto.

Mi pregunta es la siguiente: ¿por qué sólo matrices cuadradas?

¿Es posible que haya una matriz $A \in \mathbb R^{n \times k}$ tal que $AA^T =I_n$ y $A^TA= I_k$ ?

Si es así, ¿podría encontrar un ejemplo? y si no, ¿por qué no?

Esto no es para los deberes, es simplemente mi curiosidad

Answer 1

Lo tengo. $AA^T=I_n$ entonces $A$ tiene rango $n$ al menos, y si $A^TA=I_k$ entonces $A^T$ tiene rango $k$ al menos. Desde $rank(A)=rank(A^T)$ es decir $A$ tiene un rango de al menos $k$ y al menos $n$ por lo que deben ser iguales.

Answer 2

Ya ha respondido correctamente a su pregunta con un "no". Sin embargo, el concepto de matrices ortogonales puede generalizarse de alguna manera a las matrices no cuadradas. Un $n \times k$ matriz $A$ se llama semiortogonal si $A^TA$ o $AA^T$ es la matriz de identidad.

Otra caracterización de esta propiedad es que $A$ no tiene más valores singulares que $0$ o $1$ .