Tenemos $F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , $F(x)=x\int _0^x (1+\cos(t)) \, dt$ y necesitamos encontrar intervalos de monotonicidad y no sé cómo... Esto es lo que intento hacer: $$F'(x)=\int _0^x (1+\cos(t)) \, dt+x\cdot f(x)=x+\sin(x)+x\cdot f(x),$$ y después de ella cómo puedo encontrar el signo de $F'(x)$ ?
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$$ F(x) = x \int_0^{x} (1+\cos{t}) \, dt = x[ t + \sin{t} ]_0^x = x^2+x\sin{x}. $$ Ahora diferénciate, $$ F'(x) = 2x+x\cos{x}+\sin{x}. $$ A continuación hay que encontrar los ceros de esta función. Es impar, por lo que hay un cero en $x=0$ . De hecho, eso es todo, porque para $x>0$ , $x(2+\cos{x})>x$ y $\sin{x}<x$ así que no pueden cancelarse a cero.
Para hacerlo sin hacer la integral, hay que tener en cuenta que la función es par. Para $x>0$ El integrando es no negativo, y la integral es entonces positiva y creciente ya que la función empieza siendo positiva. $x$ también es creciente, y un producto de dos funciones crecientes es creciente. Por último, como la función es par, es decreciente para $x<0$ .
