¿Por qué una colección de átomos radiactivos muestra un comportamiento predecible mientras que uno solo es altamente aleatorio?

Question

Bien, sabemos que es imposible decir con exactitud cuándo un átomo radiactivo entrará en desintegración. Es un proceso aleatorio. Mi pregunta es ¿por qué entonces un conjunto de ellos decae de forma predecible (decaimiento exponencial)? ¿Desaparece la aleatoriedad cuando se juntan? ¿Cuál es la causa de este cambio drástico de su comportamiento?

Answer 1

Ley de los grandes números

Esta ley establece simplemente que si se repite un ensayo muchas veces, el resultado tiende a ser el valor esperado. Por ejemplo, si tiras un dado de 6 caras, puedes obtener cualquiera de los seis resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Pero la media de los seis resultados es la misma. Pero la media de los seis resultados es 3,5, y si tiras el dado de 6 caras un millón de veces y sacas la media de todos ellos, es muy probable que obtengas una media de 3,5 aproximadamente.

Pero 1) puede que no obtengas un número cercano a 3,5, de hecho hay una probabilidad no nula de que obtengas una media de, por ejemplo, 2 o 1, y 2) sigues sin poder predecir qué resultado obtendrás al lanzar un solo dado.

Del mismo modo, puede que no sea capaz de predecir cuándo se descompondrá un solo átomo (es decir, cuando lanza un solo dado), pero puede hacer predicciones muy buenas cuando tiene muchos átomos (es decir, equivalente a lanzar el dado millones de veces).

Answer 2

A modo de ilustración, podemos simular la desintegración radiactiva, utilizando varios números iniciales de átomos. Obtenemos algo como esto:

Los dos gráficos muestran la proporción de átomos restantes en función del tiempo. El panel inferior utiliza una escala logarítmica para ver mejor lo que ocurre. Cada curva muestra una simulación con una población inicial determinada (de 1 a 1000 átomos). Como puede verse, a medida que aumenta el número de átomos las curvas convergen rápidamente hacia la curva límite (en azul). Como el número de átomos en muchos problemas es mucho mayor que 1000, tiene sentido utilizar la curva límite para modelar la población de átomos.

Answer 3

La desintegración radiactiva es totalmente aleatoria y es imposible predecir cuándo se desintegrará un átomo concreto. Sin embargo, en cualquier momento, cada átomo radiactivo de una muestra tiene la misma probabilidad de desintegrarse. Por lo tanto, el número de eventos de desintegración (o reducción del número de átomos) $-dN$ en un pequeño intervalo de tiempo $dt$ es proporcional al número de átomos $N$ .

Así que $-\frac{dN}{dt} = kN$ . La solución de esta ecuación diferencial es $N(t)=N(0)e^{-kt}$ .

Así, cuando hay un número suficientemente grande de átomos en una muestra, su número puede tratarse como continuo y puede utilizarse una ecuación diferencial para resolver la cantidad de muestra.

En otras palabras, después de una vida media no siempre queda exactamente la mitad de los átomos debido a la aleatoriedad del proceso. Pero cuando hay muchos átomos idénticos descomponiéndose, es una buena aproximación decir que la mitad de los átomos permanecen después de una semivida (para un número suficientemente grande de átomos es improbable que se produzcan grandes fluctuaciones).

Answer 4

En términos generales, un número aleatorio siempre tiene distribución de Poisson, si tenemos un número "grande" de sucesos posibles, cada uno de los cuales es "raro" e independiente de los demás. Esto se puede demostrar matemáticamente (busque proceso de Poisson). Como esto se aplica al número de correos basura recibidos por hora, y a la desintegración de un isótopo radiactivo, ambos se distribuyen como $$Pr(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$ donde $\lambda$ es la constante de velocidad (adimensional) del proceso de Poisson, que es igual al valor medio, $E[X]=\lambda$ así como a la varianza, $Var[X]=\lambda$ . En Física solemos sustituir $\lambda \to \tilde\lambda \cdot t$ donde $\tilde\lambda$ tiene dimensión $s^{-1}$ .

Para simplificar el argumento anterior, se podría decir que el $e^{- \tilde\lambda t}$ ley de los isótopos radiactivos se debe a un efecto promedio.

Answer 5

La razón subyacente se debe a la naturaleza probabilística de los sucesos cuánticos. A nivel cuántico, tras un periodo de tiempo determinado, cada suceso tiene una probabilidad concreta de ocurrir. Al igual que cuando se lanza un dado, nunca se sabe cuándo saldrá un seis, pero se sabe que en algún momento saldrá uno. Si tiras cientos o miles de veces, las matemáticas de la probabilidad te darán una buena idea de cuál será la distribución de los seises.

Lo mismo ocurre con la radiactividad. Nunca se sabe cuándo un átomo determinado "sacará un seis" y se desintegrará. Pero sí se sabe cuál será la distribución de las desintegraciones en un conjunto de átomos.

Quizá aún quiera saber por qué los sucesos cuánticos son probabilísticos. ¡Uf! Es uno de los misterios más profundos de la vida. Las matemáticas funcionan, eso es todo lo que podemos decir con seguridad.