Demuestra por inducción que una expresión es divisible por 11

Question

Demostrar, por inducción, que $2^{3n-1}+5\cdot3^n$ es divisible por $11$ para cualquier número par $n\in\Bbb N$ .

Esta pregunta me confunde bastante. Este es mi intento hasta ahora:

Para $n = 2$

$2^5 + 5\cdot 9 = 77$

$77/11 = 7$

Suponemos que existe un valor $n = k$ tal que $2^{3k-1} + 5\cdot 3^k$ es divisible por $11$ .

Demostramos que también es divisible por $11$ cuando $n = k + 2$

$2^{3k+5} + 5\cdot 3^{k+2}$

$32\cdot 2^3k + 5\cdot 9 \cdot3^k$

$32\cdot 2^3k + 45\cdot 3^k$

$64\cdot 2^{3k-1} + 45\cdot 3^k$ (Haciendo que ambos polinomios sean los mismos que cuando $n = k$ )

$(2^{3k-1} + 5\cdot 3^k) + (63\cdot 2^{3k-1} + 40\cdot 3^k)$

El primer grupo de términos $(2^{3k-1} + 5\cdot 3^k)$ es divisible por $11$ porque hemos supuesto que el término es divisible por $11$ cuando $n=k$ . Sin embargo, el segundo grupo no es divisible por $11$ . ¿En qué me he equivocado?

Answer 1

¡Sigue adelante!

$64\cdot 2^{3k-1} + 45\cdot 3^k = 9(2^{3k-1} + 5\cdot3^k) + 55\cdot2^{3k-1}$

Answer 2

Sugerencia: Quizá quieras reconsiderar la forma en que divides los términos al final.

Tenga en cuenta que $64(2^{3k - 1}) + 45(3^k) = 9(2^{3k - 1} + 5(3^k)) + 55(2^{3k - 1})$

Answer 3

Tenga en cuenta que: si $k$ es un número par entonces también el siguiente número $k+2$ es incluso

$$2^{3(k+2)-1}+5\cdot3^{k+2}=2^{3k-1+6}+5\cdot3^{k+2}=64\cdot2^{3k-1}+9\cdot5\cdot3^{k}$$$$ =55 \cdot2 ^{3k-1}+9 \cdot2 ^{3k-1}+9 \cdot5\cdot3 ^{k}=55 \cdot2 ^{3k-1}+9 \cdot (2^{3k-1}+5 \cdot3 ^{k})$$

Answer 4

Primero, demuestre que esto es cierto para $n=2$ :

• $\frac{2^{3\cdot2-1}+5\cdot3^1}{11}=7\in\mathbb{N}$

En segundo lugar, supongamos que esto es cierto para $n$ :

• $\frac{2^{3n-1}+5\cdot3^n}{11}=k\in\mathbb{N}$

Tercero, demostrar que esto es cierto para $n+2$ :

• $\frac{2^{3(n+2)-1}+5\cdot3^{n+2}}{11}=\frac{2^{3n+5}+5\cdot3^{n+2}}{11}$

• $\frac{2^{3n+5}+5\cdot3^{n+2}}{11}=\frac{2^6\cdot2^{3n-1}+3^2\cdot5\cdot3^n}{11}$

• $\frac{2^6\cdot2^{3n-1}+3^2\cdot5\cdot3^n}{11}=\frac{64\cdot2^{3n-1}+9\cdot5\cdot3^n}{11}$

• $\frac{64\cdot2^{3n-1}+9\cdot5\cdot3^n}{11}=\frac{55\cdot2^{3n-1}+9\cdot2^{3n-1}+9\cdot5\cdot3^n}{11}$

• $\frac{55\cdot2^{3n-1}+9\cdot2^{3n-1}+9\cdot5\cdot3^n}{11}=\frac{55\cdot2^{3n-1}+9(2^{3n-1}+5\cdot3^n)}{11}$

• $\frac{55\cdot2^{3n-1}+9(2^{3n-1}+5\cdot3^n)}{11}=\frac{55\cdot2^{3n-1}+9\cdot11k}{11}$ assumption used here

• $\frac{55\cdot2^{3n-1}+9\cdot11k}{11}=\frac{11(5\cdot2^{3n-1}+9k)}{11}$

• $\frac{11(5\cdot2^{3n-1}+9k)}{11}=5\cdot2^{3n-1}+9k\in\mathbb{N}$

Answer 5

Esto es lo mismo que demostrar que $2^{6n-1}+5\cdot3^{2n}$ es divisible por $11$ para todos $n$ . El caso $n=1$ es evidente.

Por hipótesis de inducción, se puede asumir $2^{6n-1}+5\cdot3^{2n}=11k$ que se puede escribir $$ 2^{6n-1}=11k-5\cdot3^{2n} $$ Ahora \begin {align} 2^{6(n+1)-1}+5 \cdot3 ^{2(n+1)} &=2^6 \cdot2 ^{6n-1}+45 \cdot3 ^{2n} \\ &=2^6(11k-5 \cdot3 ^{2n})+45 \cdot3 ^{2n} \\ &=11 \cdot 2^6k+3^{2n}(45-5 \cdot64 ) \end {align} y ya está, porque $45-5\cdot64=-275=-11\cdot16$ .