Encuentre el valor medio de $f(x,y)=x^2 y$ en la región triangular con vértices $(1,1), (2,0), (0,1)$

Question

¿Hay alguna forma de encontrar el valor medio sin aplicar la fórmula de cambio de variable? El triángulo no es una región de tipo 1 o 2, ¿verdad? (Su área es 1, pero me preocupan sobre todo los límites de integración). Tendríamos que dividirlo en dos partes, pero ¿la función valor medio es lineal?

$$\frac{\iint_D f(x,y)dA}{\iint_D dA} \stackrel{?}{=} \int_0^1\int_{1-x/2}^{1+x} x^2y \ dydx + \int_1^2\int_{1-x/2}^{-x+2} x^2y \ dydx$$

Estoy súper confundido.

Answer 1

Sugerencia

El tipo de triángulo no importa siempre que lo muestre en los límites de la integral. Ten en cuenta que sólo es necesario el segundo término de la integral que has escrito. $$\iint_D f(x,y)dS=\int_1^2 \int_{1-{x\over 2}}^{1-x} x^2ydydx$$ que también podría haberse escrito como $$\iint_D f(x,y)dS=\int_0^1 \int_{2-2y}^{2-y}x^2ydxdy$$