Convergencia uniforme de $\sum\limits _{n=1}^{\infty}\left(\frac{x\sin\frac{x}{\sqrt{n}}}{x^{3}+n}\right)^{2}$

Question

Tengo una tarea de investigación $$\sum\limits _{n=1}^{\infty}\left(\frac{x\sin\frac{x}{\sqrt{n}}}{x^{3}+n}\right)^{2}$$ para una convergencia uniforme en $0<x<+\infty$ . He intentado utilizar la prueba M de Weierstrass, pero no he podido encontrar la secuencia. Entonces, ¿qué prueba debo utilizar para demostrar la convergencia uniforme o no uniforme de esta serie?

Answer 1

Una pista:

$$\sup_{x \in (0, \infty)}\frac{x^2}{(x^3 +n)^2} = O\left(n^{-4/3} \right)$$