Atajo para las raíces de la ecuación cuadrática.

Question

Sé cómo encontrar las raíces de una ecuación cuadrática pero el proceso es un poco lento.. ¿Hay alguna manera de saber las raíces de la ecuación cuadrática con sólo mirar la ecuación?

Answer 1

Dejemos que $ax^2+bx+c=0$ sea la cuadrática. Normalmente empiezo buscando si:

1) $a+b+c=0$ entonces las raíces son $1$ y $c/a$ . Ejemplo: $33x^2-41x+8=0$ tiene $1$ y $8/33$ como soluciones.

2) $b=a+c$ entonces las raíces son $-1$ y $-c/a$ . Ejemplo: $1793x^2+2016x+223$ tiene $-1$ y $-223/1793$ como raíces.

3) para $x^2+bx+c=0$ Pruebo los divisores de $c$ . Si uno de ellos dice $\alpha$ es una raíz, entonces $c/\alpha$ es una raíz. Ejemplo: $x^2-5x+6=0$ las raíces son $2$ y $3$ dos divisores de $6$

Si nada de lo anterior funciona, recurro a la fórmula cuadrática...

Answer 2

Supongamos que $a=1$ y $c$ es un número entero lo suficientemente pequeño como para poder ver al instante sus divisores. Si las raíces son enteras, son $r$ y $c/r$ donde $r$ es un divisor (positivo o negativo) de $c$ tal que $r + c/r = -b$ . Por supuesto, las raíces no tienen por qué ser enteras, pero este caso se da con bastante frecuencia.

Por ejemplo, para $x^2 + 14 x + 33$ los divisores de $33$ son $1, 3, 11, 33$ y $3 + 33/3 = 3 + 11 = 14$ , por lo que las raíces son $-3$ y $-11$ .