Prueba de existencia de las raíces racionales

Question

Planteamiento del problema

Queremos demostrar que el polinomio $x^p-p\,2^p\,x+p^2\in\mathbb Z[x]$ , $p$ primo, no tiene raíz racional.

Mi enfoque

Separamos la prueba en dos pasos: $p>2$ y $p=2$ ( $p<0$ no es posible porque los coeficientes no estarían en $\mathbb Z$ ).

Si $p=2$ el polinomio es $x^2-8\,x+4$ y sus raíces son: $2\,(2\pm\sqrt{3})$ pero no son racionales porque $\sqrt{3}\notin\mathbb Q$ .

Para $p>2$ utilizamos un argumento RA. Suponemos que existe $\frac{a}{b}$ con $a,\,b\in\mathbb Z$ coprima, que satisface:

$$\frac{a^p}{b^p}-p\,2^p\,\frac{a}{b}+p^2=0,$$

si no son coprimos podemos simplificar hasta $\mbox{gcd}(a,\,b) = 1$ . Entonces, multiplicando por $b^p$ tenemos:

$$a^p-p\,2^p\,a\,b^{p-1}+p^2\,b^p=0.$$

Por un lado, si aislamos $a^p$ y tomar $b$ como factor común:

$$b\,\left(-p\,2^p\,a\,b^{p-2}+p^2\,b^{p-1}\right)=-a^p,$$

así que $b\mid -a^p$ . Como $\mbox{gcd}(a,\,b) = 1$ , $b$ divide $a$ y son coprimas, por lo tanto $b=1$ . Por otro lado, si aislamos el término independiente y tomamos $a$ como factor común:

$$a\,\left(a^{p-1}-p\,2^p\,b^{p-1}\right)=-p^2\,b^p.$$

Así, $a\mid -p^2\,b^p$ . Como $\mbox{gcd}(a,\,b) = 1$ tenemos que $a\mid p^2$ . Desde $p$ es primo las únicas raíces racionales posibles son: $\pm 1$ , $\pm p$ o $\pm p^2$ .

Veamos que no son raíces:

• $\pm1$ no es una raíz.

$$\pm1\mp p\,2^p+p^2=0 \iff p\,(2^p\pm p) = 0$$

Lo cual no es posible porque $(2^p\pm p)$ sería la inversa de $p$ pero $(2^p\pm p)\in\mathbb Z$ .

Dificultad

Me quedo con las raíces $\pm p$ y $\pm p^2$ . No sé cómo ver que no son raíces reales.

EDIT: Otro enfoque

Puede ser, si tomamos $p$ como factor común en lugar de $b$ ,

$$p\,\left(-2^p\,a\,b^{p-1}+p\,b^{p}\right)=-a^p,$$

entonces $p\mid -a^p$ pero, como $p$ es primo, $\mbox{gcd}(p,\,a)=1$ Por lo tanto $p=1$ y obtenemos una contradicción.

¿Sería esto correcto?

Answer 1

Si $p\geq 3$ fuera una raíz, entonces $p^p-p^22^p+p^2=0$ Así que $2^p-1=p^{p-2}$ sería un múltiplo de $p$ pero el teorema de Fermat dice que $2^p\equiv 2$ (mod $p$ ), por lo que obtenemos una contradicción.

Si $p^2$ fuera una raíz, entonces $p^{2p}-p^32^p+p^2=0$ Así que $p2^p-1=p^{2p-2}$ sería un múltiplo de $p$ pero está claro que $p2^p-1$ no es un múltiplo de $p$ .

Observe que, en principio, $-p$ y $-p^2$ también podrían ser raíces del polinomio, pero se puede hacer un razonamiento similar para descartarlas.

Answer 2

Toma $\nu_2(q)$ como la potencia máxima de $2$ que divide el numerador del número racional $q$ . Si $q$ es una raíz de su polinomio y $p$ es impar,

$$ p\cdot\nu_2(q) = p+\nu_2(q) $$

debe sostener, eso es claramente imposible.