categorías tensoriales localmente finitamente presentables

Question

Estoy buscando ejemplos de categorías localmente presentables de forma finita que admitan una estructura monoidal simétrica, de forma que el producto tensorial preserve los colímites en cada variable, pero la unidad no sea presentable de forma finita, y/o exista un producto tensorial de objetos presentables de forma finita que no sea presentable de forma finita.

¿Hay ejemplos que aparezcan en la práctica?

(La definición correcta de una categoría tensorial localmente presentable de forma finita es aquella en la que el objeto unidad es presentable de forma finita, y el producto tensorial de dos objetos presentables de forma finita es presentable de forma finita; véase, por ejemplo, este este documento por Kelly. Pero me pregunto si esto es automático - probablemente no).

Answer 1

Se puede tomar la categoría de módulos sobre un anillo polinómico de Laurent en una variable $\textrm{Mod}\;k[t,t^{-1}]$ y pensar en $k[t,t^{-1}]$ como el álgebra de grupo de $\mathbb{Z}$ . La correspondiente estructura del álgebra de Hopf conmutativa proporciona una estructura simétrica monoidal $(\otimes_k, k)$ en $\textrm{Mod}\;k[t,t^{-1}]$ que ciertamente preserva los colímites en cada variable. La unidad $k$ es de presentación finita, pero por ejemplo $$ k[t,t^{-1}] \otimes_k k[t,t^{-1}] $$ es un producto tensorial de objetos finitamente presentados que no está finitamente presentado.

Hay muchos otros ejemplos en esta línea.