Relaciones de conmutación en mecánica cuántica

Question

Como sabemos, el oscilador armónico simple puede ser resuelto sólo por las relaciones de conmutación entre los operadores de creación y aniquilación, y la expresión hamiltoniana. La energía de espín se resuelve sólo mediante relaciones de conmutación entre los operadores de espín en los ejes ( $J_i$ ) y $J^{2}$ . Como otra ilustración, para cuantificar campos (como el campo escalar real de Klein-Gordon) en QFT, un enfoque es postular relaciones de conmutación canónicas entre los operadores de campo y de momento. Ya sé que los operadores cuánticos crean un Álgebra de Lie, y las relaciones de conmutación son importantes en un Álgebra de Lie. Sin embargo, tengo una pregunta: ¿es siempre cierto que las relaciones de conmutación son suficiente para obtener los valores propios y los vectores propios de un hamiltoniano en el espacio de Hilbert? Si es cierto, ¿por qué las relaciones conmutativas son suficiente para resolver un problema de mecánica cuántica?

Answer 1

Si tu hamiltoniano pertenece a un álgebra de Lie para el que puedes resolver el problema de valor inicial en el grupo correspondiente, entonces puedes utilizar la cuantización geométrica para resolver la ecuación de Schroedinger correspondiente. Esto se debe a que la solución de las ecuaciones de Schroedinger es simplemente $\psi(t)=e^{-itH/\hbar}\psi_0$ y $e^{-itH/\hbar}$ es un elemento del grupo generado por el álgebra de Lie (en la representación adecuada en el espacio de Hilbert dado). Así, el problema se reduce a la teoría de la representación de grupos.