Las no unidades del anillo conmutativo están todas contenidas en algún ideal M que no es R

Question

Sea R un anillo conmutativo con $1_R$ .

Entonces me gustaría demostrar la equivalencia entre esas afirmaciones, particularmente el punto de $(ii) \to (iii)$ :

(i) todas las no unidades de R están contenidas en algún ideal M $\ne R$

(ii) el conjunto de todas las no unidades de R forma un ideal de R

(iii) para cualquier r,s $\in$ R, si $r+s = 1$ entonces uno de r o s en una unidad en R

Lo siguiente es lo que he probado:

Para utilizar la contradicción, supongamos $r$ y $s$ ambos son no unitarios en $R$ .

Desde $r, s$ ambos son no unidades están en un ideal que es el conjunto de todas las no unidades en $R$ (Llamémoslo $M$ ).

entonces por definición de ideal, $r\cdot s = s\cdot r\in M$ .

No sé dónde ir más allá de este punto ¿alguna pista para proceder?

Answer 1

Cómo probar $(ii) \Rightarrow (iii)$ :

Dejemos que $r,s\in R$ sean no unidades tales que $r+s=1$ . Entonces (como las no unidades forman un ideal) tenemos que $r+s=1$ es también una no unidad. Esto significa, $1$ es una no unidad, lo cual es una contradicción.

Creo que la forma más fácil de demostrar la equivalencia de las tres afirmaciones es demostrar $(i) \Rightarrow (iii) \Rightarrow (ii) \Rightarrow (i)$ .

$(i) \Rightarrow (iii)$ : Supongamos por contradicción que existe $r,s\in R$ no unidades tales que $r+s=1$ . Sabemos que $r,s\in M$ y $M$ es un ideal, por lo tanto, $1=r+s\in M$ que se contradice con $M\neq R$ .

$(iii) \Rightarrow (ii)$ : Toma $r,s\in R$ no unidades y asumir por contradicción que $r+s$ es una unidad. Entonces existe una unidad $t\in R$ tal que $t(r+s)=1$ . Sin embargo, entonces $tr+ts=1$ . Por (iii) se tiene que $tr$ o $ts$ es una unidad. Multiplica con $t^{-1}$ y conseguir que, o bien $r$ o $s$ es una unidad, lo cual es una contradicción.

$(ii) \Rightarrow (i)$ : Toma $M$ igual a las no unidades, por $(ii)$ esto es un ideal y como $1\notin M$ también tenemos $M\neq R$ .

Answer 2

Sugerencia: asuma (ii) y deje que $N$ sea el conjunto de las no unidades. Supongamos que $r + s = 1$ . Si $r$ y $s$ son ambas no unidades, entonces $r, s \in N$ Por lo tanto $1 = r + s \in N$ porque por (ii) $N$ es un ideal. Es $1$ una no unidad?

Answer 3

Si tiene (ii), entonces la suma de dos no unidades es una no unidad, por lo que no puede ser $1$ .

Para (iii) $\implies$ (i), supongamos que no existe un ideal $M\ne R$ que contiene todas las no unidades. Nótese que el conjunto $N$ de las no unidades es cerrado bajo productos por elementos arbitrarios: si $x\in N$ y $r\in R$ entonces $rx\in N$ . Así, el hecho $N$ no está contenida en un ideal adecuado significa que hay $r,s\in N$ con $r+s\notin N$ . Entonces $u=r+s$ es una unidad y por lo tanto $1=u^{-1}r+u^{-1}s$ con $u^{-1}r$ y $u^{-1}s$ no unidades.