¿Alguien podría decirme cómo resolver esto?
Dejemos que $K$ sea un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^n$ y $$A:=\{x\in\mathbb{R}^n:d(x,K)=1\}.$$ Demostrar que $A$ tiene medida de Lebesgue $0$ .
Gracias.
Respuestas
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Supongamos que $x_0\in A$ . Dejemos que $B := \{ d(x,K) < 1\}$ .
Obsérvese que como $K$ es compacto, existe $y_0\in K$ tal que $d(x_0,y_0) = 1$ . Por definición $B_1(y_0) = \{x: d(x,y_0) < 1\}$ es un subconjunto de $B$ .
Esto implica que para todos los $\epsilon < 1/2$ tenemos que $$ \mu(B_\epsilon(x_0) \cap B) \geq \frac1{2^n} \mu(B_\epsilon(x_0)) $$ donde $\mu$ es la medida de Lebesgue. (El factor $1/2^n$ es muy flojo: Dado que una esfera tangente a $x_0$ está contenida en $B$ localmente un ortante centrado en $x_0$ está contenida en $B$ .)
Por lo tanto, tenemos que para cada $x_0\in A$ , $$ \limsup_{\epsilon \to 0} \frac{\mu(B_\epsilon(x_0) \cap A)}{\mu(B_\epsilon(x_0))} \leq \frac{2^n-1}{2^n} < 1 $$
Por el teorema de diferenciación de Lebesgue, el conjunto de $x_0\in A$ , para $A$ medible, tal que la condición anterior se cumpla debe ser de medida cero. Por lo tanto, $A$ tiene medida cero.
Frangello
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21
Iba a hacer esto un comentario pero se me ocurrió que podría haber suficiente interés como para no enterrarlo en un comentario.
Al principio del artículo siguiente Erdős da una breve prueba (que atribuye a Tibor Radó) haciendo uso del teorema de la densidad de Lebesgue que $E_r$ tiene medida de Lebesgue cero, donde $E$ es un conjunto cerrado en ${\mathbb R}^n$ y $$E_r \, = \; \{ x \in {\mathbb R}^n : \; d(x,E)=r \} $$
Paul Erdős, Algunas observaciones sobre la mensurabilidad de ciertos conjuntos , Boletín de la Sociedad Matemática Americana 51 #10 (octubre de 1945), 728-731.
Más adelante en este trabajo (punto 6), Erdős demuestra el resultado más fuerte de que, para $K$ compacto, el Hausdorff $(n-1)$ -medida de $K_r$ es finito, y por lo tanto $E_r$ tiene $\sigma$ -finito de Hausdorff $(n-1)$ -medir cuando $E$ está cerrado.
Se pueden encontrar resultados más precisos en un trabajo de 1985 de Oleksiv/Pesin Zbl 573.28010 [Traducción al inglés: Notas matemáticas 37 (1985), 237-242], y estoy seguro de que hay bastantes resultados relacionados en la literatura. Por ejemplo, cada uno de los conjuntos $E_r$ es $[1]$ -muy poroso en el sentido definido en esta conferencia mía y, entre otras cosas, di un breve argumento de que cada conjunto de este tipo tiene $\sigma$ -embalaje infinito $(n-1)$ -medida.
El análisis de los resultados relacionados con estos en espacios normados de dimensión infinita también ha generado bastante interés. Un posible punto de entrada a esto es el artículo de Ludek Zajicek de 1983 Diferenciabilidad de la función de distancia y puntos de multivalencia de la proyección métrica en el espacio de Banach .
(Añadido 12 semanas después) Hace poco alguien me votó esta respuesta y, al revisar lo que escribí, se me ocurrió que una referencia mucho mejor para el comentario "un posible punto de entrada a esto" que hice en el último párrafo es el siguiente libro:
Joram Lindenstrauss , David Preiss y Jaroslav Tišer , Diferenciabilidad de Fréchet de funciones de Lipschitz y conjuntos porosos en espacios de Banach , Annals of Mathematics Studies #179, Princeton University Press, 2012, x + 425 páginas. Zbl 1241.26001 (una revisión)
Heather
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11
Advertencia: El siguiente enfoque tiene un fallo en el segundo paso, porque el conjunto $A$ podría ser un conjunto no denso en ninguna parte con medida positiva como, por ejemplo, un conjunto gordo de Cantor, como ha señalado Davide Giraudo en su comentario. No veo ninguna manera de resolver esta laguna, pero dejo la respuesta aquí con la esperanza de que pueda resultar útil de alguna manera.
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$A$ es compacto. Como $A$ está claramente acotada, sólo hay que demostrar que es cerrada. Sea $x_i$ sea una secuencia convergente en $A$ con punto límite $x$ . Entonces $x$ también está en $A$ porque para cada $x_i$ se encuentra un $y_i$ en $K$ con $d(x_i,y_i)=1$ . El $y_i$ tienen una subsecuencia convergente con algún punto límite $y$ . Porque $d$ es continua se deduce que $d(x,y)=1$ . Además, se puede demostrar que $d(x,y)\geq1$ para todos $y\in K$ (Si no, digamos $d(x,y)<1-\epsilon$ para algunos $y\in K$ entonces $d(x_i,y)\leq d(x,x_i)+d(x,y)<\epsilon/2+1-\epsilon<1$ para algunos $x_i$ ). Así, $x\in A$ .
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Si $A$ es cerrado y medible por Lebesgue con $\lambda(A)>0$ debe contener al menos un conjunto abierto no vacío de $\mathbb R^n$ , es decir, el interior de $A$ . Este a su vez contendría una bola cerrada, llámese $\bar B_\delta(x)$ para algunos $x\in A$ y $\delta>0$ .
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$K$ no puede contener ningún punto de la bola abierta $B_{1+\delta}(x)$ porque, de lo contrario, no tendría sentido $\bar B_\delta(x)$ con la distancia a $K$ menor que 1. Pero, entonces $x$ tendría una distancia mayor que $1$ a $K$ es decir $x\not\in A$ En contra de la suposición de que $\bar B_\delta(x)\subset A$ .
Un posible remedio: Si definimos $B=\bigcup_{y\in K}\bar B_1(y)$ entonces $A=\partial B$ ya que el límite de $B$ contiene exactamente los puntos que tienen distancia $1$ a $K$ . Desde $B$ es un conjunto relativamente "suave" (en el sentido de que no puede tener agujeros infinitamente pequeños y densos como un conjunto de Cantor), esto puede trasladarse a su frontera y salvar el paso 2. descartando "conjuntos raros" como el Cantor gordo.
smiley06
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1930
$ f_K : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $ dado como $ f_K(x) = d(x,K) $ es claramente Lipschitz como $ |f_K(x)-f_K(y)| \leq |x-y|,\ A = f_K^{-1}(\{1\})$ . Una función Lipschitz $f$ tomar conjuntos de medida 0 a conjuntos de medida 0 como si $\mu$ es la medida de Lebesgue para $\mathbb{R}^n$ entonces $ \mu(f(A))\leq (Lip(f))^n\mu(A) $ (se puede demostrar esto usando argumentos de medidas externas o muy trivialmente usando la igualdad de las medidas de lebesgue y hausdorff).
