Aplicar el axioma de Martin en un ejercicio de Kunen

Question

Necesito ayuda en el siguiente ejercicio del capítulo II del libro de teoría de conjuntos de la primera edición de Kunen.

Pista 1 : Considere $\mathbb{P}=\{\langle p,n\rangle \ : \ n\in\omega , dom(p)\subseteq X \mbox{ is finite and } p(x)\subseteq n \mbox{ for all } x\in dom(p) \}$ con la ordenación $\langle p,n \rangle \leq \langle q,m \rangle$ si $m\leq n, dom(q)\subseteq dom(p), \ \forall x\in dom(q) (p(x)\cap m =q(x)),\ $ y $\forall x,y \in dom(q) (x<y \implies(p(x)\setminus p(y))\subseteq m)$ .

Pista 2 : Utilice el $\Delta$ -sistema lema para demostrar que $\mathbb{P}$ tiene la propiedad de condición de cadena contable.

El $\Delta$ -El lema del sistema dice que siempre que tengamos una familia incontable de conjuntos finitos, podemos encontrar una subfamilia incontable $\mathcal{D}$ que forma un $\Delta$ -es decir, hay un $r\in\mathcal{D}$ (la raíz) tal que para dos elementos cualesquiera $x,y\in\mathcal{D}$ tenemos $x\cap y=r$ .

Bueno, por supuesto que sólo tenemos que construir inteligente $\kappa$ subconjuntos densos de $\mathbb{P}$ y aplicar el axioma de martin en esos denses y obtener un filtro genérico que probablemente sinalice que $a_x$ debemos definir para terminar el ejercicio. Pero tuve problemas al principio. No pude definir esos subconjuntos densos de manera inteligente... es mi primer ejercicio en $MA$ problemas para no tener algunas ideas que seguir. ¿Podría ayudarme?

Además, no pude usar la pista 2 para demostrar que $\mathbb{P}$ es c.c.c.. Sobre esto, supuse una anticadena incontable $\mathcal{A}$ y trató de definir $\mathcal{A}'=\{dom(p): \exists n(\langle p,n \rangle \in \mathcal{A})\}$ para aplicar el $\Delta$ -sistema lema y obtener cualquier contradicción, pero no fui más allá en eso.

Gracias de antemano.

Answer 1

$\newcommand{\dom}{\operatorname{dom}}$

Revisado y corregido el 20 de junio de 2021.

Para $x\in X$ y $k\in\omega$ dejar

$$\begin{align*} D_{x,k}=\{\langle p,n\rangle&\in\Bbb P:x\in\dom(p)\text{ and }|p(x)|\ge k\text{ and }\\ &\forall y\in\dom(p)\setminus\{x\}(x<y\to|p(y)\setminus p(x)|\ge k)\}\;. \end{align*}$$

Dejemos que $\langle q,m\rangle\in\Bbb P$ ser arbitrario. Si $x\notin\dom(q)$ , dejemos que $q'=q\cup\{\langle x,m\rangle\}$ ; de lo contrario, deja que $q'=q$ . Sea

$$s=(m+k+1)\setminus(m+1)$$

y

$$t=(m+2k+1)\setminus(m+k+1)\,,$$

dejar $n=m+2k+1$ y definir $p:\dom(q')\to n$ de la siguiente manera:

$$p(y)=\begin{cases} q'(y)\cup s,&\text{if }y=x\\ q'(y)\cup s\cup t,&\text{if }x<y\\ q'(y),&\text{otherwise.} \end{cases}$$

Entonces $\langle p,n\rangle\le\langle q,m\rangle$ y $\langle p,n\rangle\in D_{x,k}$ Así que $D_{x,k}$ es denso en $\Bbb P$ . Por comodidad, dejemos que $D_x=\bigcup_{k\in\omega}D_{x,k}$ para cada $x\in X$ .

Dejemos que $G$ sea un filtro en $\Bbb P$ reunión de cada $D_{x,k}$ . Para $x\in X$ dejar

$$a_x=\bigcup_{\langle p,n\rangle\in G\cap D_x}p(x)\;$$

claramente $a_x\subseteq\omega$ y el hecho de que $G$ se encuentra con $D_{x,k}$ para cada $k\in\omega$ garantiza que $|a_x|=\omega$ . Supongamos que $x,y\in X$ y $x<y$ queremos demostrar que $|a_x\setminus a_y|<\omega$ .

Si $a_x\setminus a_y\ne\varnothing$ , dejemos que $\ell\in a_x\setminus a_y$ ; $G$ es un filtro, por lo que hay un $\langle p,n\rangle\in G\cap D_x\cap D_y$ tal que $\ell\in p(x)$ . Entonces, para cada $\langle q,m\rangle\in G$ tal que $\langle q,m\rangle\le\langle p,n\rangle$ tenemos $q(x)\setminus q(y)\subseteq n$ Así que $a_x\setminus a_y\subseteq n$ y por lo tanto $a_x\subseteq^*a_y$ .

Además, para cada $k\in\omega$ hay un $\langle p,n\rangle\in G\cap D_{x,k}\cap D_y$ para que $|p(y)\setminus p(x)|\ge k$ . Si $\langle q,m\rangle\in G$ con $\langle q,m\rangle\le\langle p,n\rangle$ entonces $\big(q(y)\setminus q(x)\big)\cap n=p(y)\setminus p(x)$ Así que $(a_y\setminus a_x)\cap n=p(y)\setminus p(x)$ y $|a_y\setminus a_x|\ge k$ . Así, $a_y\setminus a_x$ es infinito, y $a_x\subset^*a_y$ .

Para demostrar que $\Bbb P$ es ccc, dejemos que $A\subseteq\Bbb P$ ser incontable; WLOG podemos suponer que hay un $n_0\in\omega$ tal que $n=n_0$ para cada $\langle p,n\rangle\in A$ y podemos suponer además que $\{\dom(p):\langle p,n_0\rangle\in A\}$ es un $\Delta$ -sistema con raíz $r$ . Y $n_0$ sólo tiene un número finito de subconjuntos, por lo que podemos suponer que $p\upharpoonright r=q\upharpoonright r$ para todos $p,q\in A$ .

Ahora dejemos que $\langle p,n_0\rangle,\langle q,n_0\rangle\in A$ y que $s=p\cup q$ Entonces $s:\dom(p)\cup\dom(q)\to n_0$ Así que $\langle s,n_0\rangle\in\Bbb P$ y es fácil comprobar que $\langle s,n_0\rangle\le\langle p,n_0\rangle$ y $\langle s,n_0\rangle\le\langle q,n_0\rangle$ Así que $A$ no es una anticadena, y $\Bbb P$ es ccc.