Subjetividad del endorfismo de Frobenius

Question

Dejemos que $F$ sea un campo de característica $p$ y definir $\phi: F \to F$ por $\phi(a) = a^p$ es decir, que $\phi$ sea el endomorfismo de Frobenius de $F$ .

En el texto de Dummit y Foote, hay un resultado que afirma que $\phi$ es suryente si $F$ es finito. La razón de esto es que $\phi$ es inyectiva (el núcleo es $\{0\}$ ) y $F$ es finito, lo que implica la subjetividad.

Me pregunto por qué no puedo eliminar el supuesto de finitud utilizando el primer teorema de isomorfismo para anillos. Tenemos $F/ker(\phi) = F/\{0\} \cong \phi(F)$ , lo que da $\phi(F) \cong F$ . Esto significaría que $\phi$ es sobreyectiva, ¿verdad?

Answer 1

"¿Verdad?" No, afortunadamente, no está bien. Se puede ver muy claramente observando que incluso en la característica cero, si $x$ es un indeterminado, $$ \Phi:\Bbb Q(x)\to\Bbb Q(x), \qquad \frac{P(x)}{Q(x)}\mapsto\frac{P(x^2)}{Q(x^2)} $$ es un morfismo de campo, por lo tanto con núcleo cero, así que uno a uno, pero la imagen (rango) es $\Bbb Q(x^2)$ un subcampo propio.