Probar (o refutar) una propiedad de las cadenas de Markov

Question

Tengo que probar o refutar lo siguiente: Sea $X_n$ sea una cadena de Markov en el espacio de estados $S = \{1,2,3,4,5,6\}$ . Entonces $$P(X_2 = 6 | X_1 \in \{3,4\}, X_0 = 2) = P(X_2 = 6 | X_1 \in \{3,4\}).$$

Esta afirmación parece que debería ser obviamente cierta, pero tengo algunos problemas para demostrarla. Mi estrategia ha sido simplemente manipular cada lado utilizando propiedades básicas de la probabilidad condicional, así como la propiedad de Markov. He escrito el LHS de la siguiente manera: \begin{align*} & \quad \; P(X_2 = 6 | X_1 \in \{3,4\}, X_0 = 2 ) \\[5pt] &= \frac{P(X_2 = 6, X_1 \in \{3,4\}, X_0 = 2 )}{P(X_1 \in \{3,4\}, X_0 = 2)} \\[5pt] &= \frac{P(X_2 = 6, X_1 = 3, X_0 = 2) + P(X_2 = 6, X_1 = 4, X_0 = 2)}{P(X_1 = 3, X_0 = 2) + P(X_1 = 4, X_0 = 2)} \\[5pt] &= \frac{P(X_2 = 6 | X_1 = 3, X_0 = 2) P(X_1 = 3, X_0 = 2) + P(X_2 = 6 | X_1 = 4, X_0 = 2) P(X_1 = 4, X_0 = 2)}{P(X_1 = 3, X_0 = 2) + P(X_1 = 4, X_0 = 2)} \\[5pt] &= \frac{P(X_2 = 6 | X_1 = 3) P(X_1 = 3, X_0 = 2) + P(X_2 = 6 | X_1 = 4) P(X_1 = 4, X_0 = 2)}{P(X_1 = 3, X_0 = 2) + P(X_1 = 4, X_0 = 2)}. \end{align*}

Y para el RHS: \begin{align*} P(X_2 = 6 | X_1 \in \{3,4\}) &= \frac{P(X_2 = 6, X_1 \in \{3,4\})}{P(X_1 \in \{3,4\})} \\[5pt] &= \frac{P(X_2 = 6, X_1 = 3) + P(X_2 = 6, X_1 = 4)}{P(X_1 = 3) + P(X_1 = 4)}. \end{align*}

Pero sigo sin ver cómo demostrar que el LHS y el RHS son iguales. ¿Estoy en el camino correcto? Se agradece cualquier ayuda o sugerencia.

Edición: La "propiedad de Markov" a la que me refiero es: $P(X_{n+1} = i_{n+1} |X_n = i_n, X_{n-1} = i_{n-1}, \ldots, X_{1} = i_1) = P(X_{n+1} = i_{n+1} | X_n = i_n)$

---

Resulta (bastante sorprendente) que $P(X_2 = 6 | X_1 \in \{3,4\}, X_0 = 2) \neq P(X_2 = 6| X_1 \in \{3,4\})$ . Véase mi contraejemplo más abajo.

Answer 1

La prueba más sencilla aquí es simplemente combinar los estados $3$ y $4$ para tratarlos como un solo estado. La combinación de estos dos estados en un solo estado (llamado, por ejemplo, $3\text{-}4$ ) no elimina la propiedad de Markov, por lo que tenemos:

$$\mathbb{P}(X_2 = 6 | X_1 = 3\text{-}4, X_0 = 2) = \mathbb{P}(X_2 = 6 | X_1 = 3\text{-}4).$$

Esto se deduce directamente de la propiedad de Markov. Te estás quedando atascado en tu numeración, que no es más que dividir un único evento en múltiples eventos disjuntos. Una vez que tratas el evento más grande como el estado de interés, el resultado que estás tratando de demostrar se convierte en una declaración directa de la propiedad de Markov.