Son polinomios infinitamente muchas veces diferenciable?

Question

Son polinomios infinitamente muchas veces diferenciable?

Si es así, ¿sólo significa que en algún punto de llegar a 0 y, a continuación, seguimos recibiendo 0?

Gracias!

Answer 1

Sí.

$$\frac{d}{dx} 0 = 0,$$ así que una vez que has tomado $\deg(p) + 1$ derivados, en el $p$ es el polinomio que usted está considerando, usted seguirá recibiendo cero.

Answer 2

Las otras respuestas probablemente respondió a su pregunta, pero en caso de que usted quisiera aprender más, la palabra clave a buscar es la suavidad de la función (ver aquí por ejemplo: https://en.wikipedia.org/wiki/Smoothness).

Así que otra, más elegante manera de pedirle a tu pregunta es si o no los polinomios son las funciones lisas.

Answer 3

Para ser sólo un poco más formal. Me gustaría considerar las definiciones estándar de los "derivados" y "diferenciable".

La definición de la derivada es normalmente definida de una función en un intervalo o en un punto.

Derivado Deje $I \subseteq \Bbb R$ ser un intervalo, vamos a $f:I\to \Bbb R$, y vamos a $c \in I$. $L \in \Bbb R$ es un derivado de $f$ $c$ si se dan las siguientes condiciones.

compactado definición de uso indefinido límite está dado por el límite

$L=\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$

alternativamente $\forall \epsilon$, $\exists \delta(\epsilon):$ si $\epsilon \gt 0$$\delta (\epsilon)\gt 0$.

Si $x \in I$$0<|x-c|< \delta(\epsilon)$$|\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-L|<\epsilon$.

Diferenciable simplemente significa que la derivada existe en un punto de $c$.

Así que para el caso de los polinomios en la de $\Bbb R \to \Bbb R$ consideraremos este intervalo de $I$ a ser igual a los reales en sí. Lo que suelen hacer es considerar las dos desigualdades

$1)$ $|x-c|<\delta(\epsilon)$

$2)$ $|\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-L|<\epsilon$

como un sistema de desigualdades, sin embargo esto es más fuerte de lo necesario ya que la resolución de las variables simultáneamente implica que $1$ implica $2$ $2$ implica también la $1$ o $1\iff 2$. La definición sólo requiere que el $1 \Rightarrow 2$. Usted puede investigar por su cuenta. Primero considere el $f(x) = x$ $|\frac{x-c}{x-c}-L|=|1-L|<\epsilon$

$|x-c|<\delta(\epsilon)$

En este caso, $\delta$ no es una función de $\epsilon$ porque si $\delta =|x-c|+1$ $\Rightarrow |x-c|<\delta$. Normalmente, $2$ restringir los posibles valores de x y de manera más específica delta podría satisfacer este limitado de modo que $1 \Rightarrow 2$ que es lo que realmente se necesita. Así que vamos a ver, por todos los $\epsilon$ $2$ es cierto, porque la $L$ sólo deben ser un elemento de lo real. Así que podemos aprovechar $L=1$.

axioma 1 $\frac{d}{dx}x|_{x=c}=1$ Como se recordará. El próximo considerar $f(x)=a$ para cualquier $a \in \Bbb R$. $1$, $2$ convertido en

$|x-c|<\delta(\epsilon)$

$|\frac{a-a}{x-c}-L|=|L|<\epsilon$

Podemos tomar $\delta(\epsilon)=|x-c|+1$ como antes y $L=0$.

axioma 2 $\frac{d}{dx}a|_{x=c}=0, \forall a \in \Bbb R$ una constante.

Considerar el siguiente $f(x)$, $g(x)$ se define de forma similar a como las funciones de los reales a los reales y $h(x)=f(x)+g(x)$

$|x-c|<\delta(\epsilon)$

$|\frac{h(x)-h(c)}{x-c}|=|\frac{f(x)+g(x)-f(x)-g(x)}{x-c}-L|=|\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-L_f+\frac{g(x)-g(c)}{x-c}-L_g|<\epsilon$, $L=L_f+L_g$

Por la desigualdad de triángulo $|x+y|\le|x|+|y|$, lo que implica entonces

$|\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-L_f+\frac{g(x)-g(c)}{x-c}-L_g|\le|\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-L_f|+|\frac{g(x)-g(c)}{x-c}-L_g|$

Pero vemos que esto es sólo la suma de dos funciones diferenciables y si son diferenciables en a $c$ sabemos $L_f$, $L_g$ existen, así como estas instrucciones satisfecho por todos los $\epsilon$ así existe un $\delta$.

$|\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-L_f|<\epsilon_f$, $|\frac{g(x)-g(c)}{x-c}-L_g|<\epsilon_g$

y $\epsilon_f+\epsilon_g=\epsilon$, por lo que finalmente

axioma 3 $\frac{d}{dx}h(x)|_{x=c}=\frac{d}{dx}f(x)|_{x=c}+\frac{d}{dx}g(x)|_{x=c}$ si $h(x)=f(x)+g(x)$ donde $f(x)$ $g(x)$ son dos funciones diferenciables en el intervalo considerado.

Finalmente, el producto de la regla de las necesidades que se derivan sin embargo, a medida que normalmente se deja como ejercicio voy a hacer lo mismo.

producto de la regla de si $f(x)$ $g(x)$ son dos funciones diferenciables en un intervalo $I$$h(x)=f(x) g(x)$, entonces su derivada en todos los puntos en $I$ $\frac{d}{dx}[f(x)]_{x=c}g(x)+f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]_{x=c}$

Ahora podemos empezar a mover a la normal de las herramientas de cálculo, por ejemplo, si consideramos el caso fueron nuestras funciones sólo están como en el axioma 1 y 2, y aplicar la regla del producto obtenemos $1\cdot x+x\cdot 1=2x$. usted puede darse cuenta de que el patrón después de un par de iteraciones que $\frac{d}{dx}x^n|_{x=c}=nx^{n-1}$. Supongamos que es cierto para una $n \in \Bbb N$, a continuación, considere la posibilidad de

$\frac{d}{dx}x^{n+1}|_{x=c}=x^n\frac{d}{dx}x|_{x=c}+x\frac{d}{dx}x^n|_{x=c}=x^n+x\frac{d}{dx}x^n|_{x=c}$

Por nuestro producto de la regla, a continuación, utilizar nuestra hipótesis de inducción tenemos

$x^n+x\cdot nx^{n-1}=x^n+nx^n=(n+1)x^n=(n+1)x^{(n+1)-1}$

que es lo que nos hemos propuesto mostrar, todo lo que queda es evaluar el caso base de la $n=0$ que usted puede hacer en este punto. En realidad, hemos mostrado que no es cierto para $n=2$ ya. También yo se lo dejo a usted para evaluar cómo los coeficientes pueden ser vistos como constante de las funciones y utilizar el producto de la regla de nuevo para manejar cualquiera de los términos de un polinomio.

No voy a probar pero es cierto que cualquier polinomio se puede witten en la forma $\sum_{i=0}^n a_i x^i$ puede mostrar de nuevo por inducción que para un determinado $n$, $m \in \Bbb N$ suponga $m \le n$

$\frac{d}{dx}\sum_{i=0}^m a_ix^i|_{x=c}=\sum_{i=0}^m a_i\frac{d}{dx}x^i|_{x=c}=\sum_{i=0}^m ia^ix^{i-1}$

a continuación, proceder a mostrar cierto para m+1.

Finalmente, para mostrar que hay sólo un número finito de derivados de cualquier polinomio mayor que $0$ el uso de la contradicción y el uso del índice en el coeficiente de $i$ con sucesivos derivados. Esto demuestra que no existe un n de modo que $\frac{d^n}{dx^n}\sum_{i=0}^la_ix^i|_{x=c}=0$ todos los $l$. Ya hemos visto que la derivada de una constante es cero.