$$-e^{2\pi i/n}\int_0^\infty\frac1{1+x^n}\mathrm{d}x\tag{3}$$ de Demuestra que $\int_0^ \infty \frac{1}{1+x^n} dx= \frac{ \pi /n}{\sin(\pi /n)}$ , donde $n$ es un número entero positivo. este enlace no entiendo de donde viene? estoy escribiendo esto en el móvil en condiciones muy incómodas por lo que estoy sory sobre el procedimiento de pedir. ¿Alguien puede explicar o dar una pista básicamente? Muchas gracias por adelantado.
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Michael Seifert
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En la derivación vinculada, parametrizamos la curva a lo largo de la línea inclinada como $z = e^{2 \pi i/n} x$ con $x$ corriendo de $R$ a 0. Así, la integral de la trayectoria en el plano complejo se convierte en $$ \int_{\text{inclined} \atop \text{line}} \frac{1}{1 + z^n} dz = \int_R^0 \frac{1}{1 + x^n} d(e^{2 \pi i/n} x) = e^{2 \pi i/n} \int_R^0 \frac{1}{1 + x^n} dx \\= -e^{2 \pi i/n} \int_0^R \frac{1}{1 + x^n} dx. $$
HappyEngineer
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111
Una integral de trayectoria compleja a lo largo de una trayectoria diferenciable $\gamma:[0,1]\to\mathbb C$ es, por definición: $$\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_{0}^{1} f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt.$$
Para su inclinación, el segmento de línea desde $Re^{2\pi i/n}$ a $0$ , usted tiene $\gamma(t)=Re^{2\pi i/n}(1-t)$ y luego $\gamma'(t)=-Re^{2\pi i/n}$ así que lo consigues:
$$\int_{\gamma} f(z)\,dz = -Re^{2\pi i/n}\int_{0}^{1} f(\gamma(t))\,dt.$$
Pero, como $f\left(e^{2\pi i/n}z\right)=f(z)$ para nuestro $f(z)=\frac{1}{1+z^n}$ tenemos $f(\gamma(t))=f(R(1-t))$ Así que..:
$$\int_{\gamma} f(z)\,dz = -Re^{2\pi i/n}\int_{0}^{1} f(R(1-t))\,dt.$$
Dejar $u=R(1-t)$ se obtiene $du=-R\,dt$ y así:
$$\int_{\gamma} f(z)\,dz = e^{2\pi i/n}\int_R^0 f(u)\,du=-e^{2\pi i/n}\int_0^R f(u)\,du$$
