En primer lugar, restando $T_e$ da para $v=u-T_e$ un problema con condiciones iniciales y de contorno homogéneas. Las funciones propias del operador de Laplace en coordenadas polares son las siguientes Funciones de Bessel del primer tipo $J_0\left( \frac{\mu_n}R r \right)$ , donde $\mu_n$ es el $n$ -raíz positiva de $J_0$ . Son ortogonales en $[0,R]$ con la función de peso $r$ . Denote $$ j_n(r)=\frac{J_0 \left( \frac{\mu_{n}}R x \right) }{\sqrt{\frac12} RJ_{1}(\mu_n)} $$ las funciones propias normalizadas, $\int_0^Rrj_m(r)j_n(r)\,dr=\delta_{mn}$ .
La función de Green correspondiente para la ecuación del calor en coordenadas polares es $$ G(r,r',t)=\sum_{n=1}^\infty e^{-a^2\frac{\mu_{n}^2}{R^2}t}j_n(r)j_n(r'). $$ Solución $v$ puede escribirse como un potencial de volumen: $$ v(r,t)=\int_0^t\int_0^RG(r,r',t-\tau)r'e^{-r'^2}\,dr'd\tau. $$ Ampliar $e^{-r^2}$ en el Serie de Fourier-Bessel $$ e^{-r^2}=\sum_{n=1}^\infty c_nj_n(r),\quad r\in[0,R], $$ donde $$ c_n=\int_0^Rrj_n(r)e^{-r^2}\,dr, $$ tenemos $$ v(r,t)= \int_0^t\int_0^Rr'\sum_{n=1}^\infty e^{-a^2\frac{\mu_{n}^2}{R^2}(t-\tau)}j_n(r)j_n(r')e^{-r'^2}\,dr'd\tau= $$ $$ \sum_{n=1}^\infty j_n(r)\left(\int_0^t e^{-a^2\frac{\mu_{n}^2}{R^2}(t-\tau)}d\tau\right) \left(\int_0^Rr'j_n(r')e^{-r'^2}\,dr'\right)= $$ $$ \frac {R^2}{a^2}\sum_{n=1}^\infty c_n\frac{1-e^{-a^2\frac{\mu_{n}^2}{R^2}t}}{\mu_n^2}j_n(r). $$
