Potencial de $A\,\nabla V$

Question

Dejemos que $V:\mathbb R^n\to \mathbb R$ suave, que $A$ matriz real invertible de dimensión $n\times n$ . Consideremos el siguiente campo vectorial $F:\mathbb R^n\to\mathbb R^ n$ , $$ F(x) \equiv A\,\nabla V(x) \,.$$ ¿Es posible determinar alguna condición en $A$ tal que $F$ tiene un potencial, es decir, existe $U:\mathbb R^n\to \mathbb R$ tal que $$ \nabla U(x) = F(x) \;\;?$$ En particular, me interesa el caso $A$ matriz diagonal.

Answer 1

Esto es indefectiblemente falso, incluso en el caso diagonal. Aquí hay dos ejemplos (siguiendo mis comentarios).

(1) Toma $V(x,y)=\frac12(x^2+y^2)$ y $A=\begin{bmatrix} 0 & -1\\1& 0\end{bmatrix}$ . Entonces $$A\nabla V = \begin{bmatrix} 0 & -1\\1& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -y\\x\end{bmatrix}$$ no es conservador.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que si nos quedamos con la matriz de rotación y tomamos $V$ sea armónico, entonces $A\nabla V$ volverá a tener rizos $0$ . Por ejemplo, con $V(x,y)=\frac12(x^2-y^2)$ obtenemos $A\nabla V = \begin{bmatrix} y\\x \end{bmatrix} = \nabla(xy)$ . No es casualidad que obtengamos el conjugado armónico aquí.

(2) Toma $V(x,y) = xy$ y $A=\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b\end{bmatrix}$ . Entonces $$A\nabla V = \begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y\\x\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ay\\bx\end{bmatrix}$$ no es conservador a menos que $a=b$ .