Resolución de una EDP parabólica

Question

Me han encargado que resuelva una EDP parabólica (en la forma de la ecuación de Black-Scholes), primero tengo que discretizar el problema (cosa que he hecho) y luego resolver para formar un vector de aproximaciones en el tiempo t=n+1.

Este es el problema discretizado:

$$ v^{n} = v_i^{n+1} - \frac{t}{h^2} \left(v_{i-1}^{n+1} - 2v_i^{n+1} + v_{i+1}^{n+1}\right) - \frac{rx}{h} \left(v_{i+1}^{n+1} - v_{i-1}^{n+1}\right) $$

Dónde $r$ es el tipo de interés (=0,1), $t$ es el paso de tiempo y $h$ es el tamaño del paso).

Que forma un sistema lineal con el formato de $Av = f$ , utilizado para resolver $v$ en $t=n+1$ .

Mi pregunta es, ¿cómo puedo formar la tridiagonal $A$ en este caso, dada la complejidad del problema discretizado?

(A continuación, utilizaré backsolve para encontrar las aproximaciones)

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

¿Por qué se necesita una tridiagonal $A$ ? No estoy seguro de que haya una forma sencilla de conseguirlo. Puedes intentar resolver el sistema por eliminación gaussiana o, ya que tienes un problema repetido para muchos lados derechos $f$ puede considerar algo como el Descomposición Cholesky descomponerse $A = LL^T$ .