Encuentra todos los enteros no negativos

Question

Determinar todos los enteros no negativos $x$ y $y$ para que $$3^x + 7^y$$ es un cuadrado cuadrado y $y$ está en paz.

Sin ensayo y error, por supuesto.

$$3^x + 7^y = a^2$$ Para algún número entero $a$ .

$$\implies a = \sqrt{3^x + 7^y}$$

Pero, ¿hay realmente una manera?

Answer 1

Escribir $y = 2z$ tenemos $3^x = (a + 7^z)(a - 7^z )$ . Ahora $a + 7^x$ y $a - 7^x$ debe ser dos potencias de $3$ , digamos que $a + 7^x = 3^d$ , $a - 7^x = 3^e$ . Pero $3^d - 3^e = 2 \times 7^x \equiv 2 \mod 3$ por lo que debemos tener $e = 0$ . Entonces $a = 1 + 7^x$ y $3^d = a + 7^x = 1 + 2 \times 7^x$ . Una solución es $x = 0$ , $d = 1$ correspondiente a $3^1 + 7^0 = 2^2$ . Por lo demás, hay que tener en cuenta que $3^d \equiv 1 \mod 7$ si $d$ es divisible por $6$ pero si $d$ es divisible por $6$ entonces $3^d \equiv 1 \mod 4$ también, así que $(3^d - 1)/2$ es divisible por $2$ y no puede ser un poder de $7$ . Así que no hay otras soluciones.