Dejemos que $V=\mathbb C^{2n}$ con la base estándar $\{e_1,e_2, \cdots , e_{2n}\}$ y que $\sigma$ sea la involución $e_i \mapsto -e_{2n+1-i}$ . Esto induce una involución del Grassmanniano $G(n,2n)$ de $n$ subespacios dimensionales de $\mathbb C^{2n}$ . Entonces, ¿cuáles son los puntos fijos de esta involución? ¿Tiene una estructura agradable como variedad proyectiva?
Respuestas
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En general, los puntos fijos de cualquier mapa del Grassmanniano inducido por una transformación lineal diagonalizable es sólo una unión de productos de Grassmanianos en los eigenspaces. Cualquier subespacio $V$ fijada por una transformación diagonalizable $A$ es la suma de las intersecciones de $V$ con los eigenspaces de $A$ (ya que la proyección a cada eigespacio es un polinomio en $A$ ). Si fijamos la dimensión de cada una de estas intersecciones, obtenemos un mapa al producto de Grassmanianos de los eigenspaces, que es obviamente un isomorfismo.
En este caso, $\mathbb{R}^{2n}$ es la suma de los espacios eigénicos 1 y -1, ambos de dimensión $n$ . Así, los puntos fijos son una unión disjunta de $Gr(k,n)\times Gr(n-k,n)$ para todos $0\leq k\leq n$ .
dmnc
Puntos
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Analicemos en detalle el caso más sencillo no trivial, a saber $n=2$ . Sea $$x_{ij} :=x_i \wedge x_j, \quad i <j$$ sean las coordenadas de Plücker de $\mathbb{P}^5$ . Desde su involución $\sigma$ intercambios $e_1$ con $e_4$ y $e_2$ con $e_3$ es fácil comprobar que la acción sobre las coordenadas de Plücker es \begin{equation*} \begin{split} [x_{12}: \, x_{13}: \, x_{14}: x_{23}: \, x_{24}: \, x_{34}] \mapsto & [-x_{34}: \, -x_{24}: \, -x_{14}: \, -x_{23}: \, -x_{13}: \, -x_{12}] \\ =& [x_{34}: \, x_{24}: \, x_{14}:\, x_{23}: \, x_{13}: \, x_{12}]. \end{split} \end{equation*} El lugar fijo $\Sigma$ de tal involución en $\mathbb{P}^5$ está dada por una unión disjunta $$\Sigma = \Sigma_1 \sqcup \Sigma_2,$$ donde $\Sigma_1$ es la línea de ecuación $$x_{12}+x_{34}=x_{13}+x_{24}=x_{14}=x_{23}=0,$$ mientras que $\Sigma_2$ es el $2$ -plano de la ecuación $$x_{12}-x_{34}=x_{13}-x_{24}=0.$$ Recordemos que el Grasmanniano $\mathbb{G}(1, \, 3)=G(2, \, 4)$ de líneas en $\mathbb{P}^3$ (o, en su defecto, de $2$ -aviones en $\mathbb{C}^4$ ) es la hipersuperficie cuádrica $Q \subset \mathbb{P}^5$ cuya ecuación de Plücker es $$x_{12}x_{34}-x_{13}x_{24}+x_{23}x_{14}=0.$$ Dicha cuádrica es $\sigma$ -invariante, como se esperaba, y el lugar fijo $\Sigma_Q$ de la involución $\sigma \colon Q \to Q$ viene dada por la intersección de $Q$ con $\Sigma$ . Entonces obtenemos una unión disjunta
$$\Sigma_Q = \Sigma_{Q1} \sqcup \Sigma_{Q2},$$ donde $\Sigma_{Q1}:=Q \cap \Sigma_1$ consiste en los dos puntos $$[1: \, -1: \, 0: \, 0: \, 1: \, -1], \quad [1: \, 1: \, 0: \, 0: \, -1: \, -1],$$ mientras que $\Sigma_{Q2}:=Q \cap \Sigma_2$ es una sección lineal suave de dimensión $2$ , es decir, una superficie cuádrica lisa.
Resumiendo, el lugar fijo de la involución inducida por $\sigma$ en el Grasmanniano $\mathbb{G}(1, \, 3)$ consiste en la unión disjunta de dos puntos distintos y una copia de $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ y esto concuerda con la respuesta de Ben Webster.
