Cómo demostrar que $p \nmid a \Rightarrow \gcd(p,a)=1$ ?

Question

Cómo demostrar que $p \nmid a \Rightarrow \gcd(p,a)=1$ ?

Si tenemos representaciones canónicas de $p= q_1^{b_1} \cdots q_n^{b_n}$ y $a= r_1^{c_1} \cdots r_k^{c_k}$ entonces porque $p \nmid a$ , $q_i \neq r_j$ para todos $i=1, \dots, n$ y $j=1, \dots k \Rightarrow \gcd(p,a)=1$ .

Answer 1

Creo que el problema debe venir de una fuente que asume $p$ es primo.

Eso significa que tu segundo párrafo está ladrando al árbol equivocado.

Supongamos que $\gcd(a,p)=m\ne 1$ . Entonces $m$ es un divisor común de $a$ y $p$ . Esto significa que $m$ divide $a$ y $m$ divide $p$ . Si $m$ divide $p$ y $p$ es primo, entonces $m = \text{either }1\text{ or }p$ . Hemos descartado $1$ Así que $m=p$ . Si $m$ divide $a$ y $m=p$ entonces $p$ divide $a$ . Pero usted descartó eso al principio.