Convergencia débil en espacios de Banach

Question

En el libro de Rudin <> Página 66, dice "Si $X$ es un espacio vectorial de topología infinita, entonces $X$ bajo la topología débil no está acotada localmente" . Por lo tanto, creo que la topología de cualquier espacio (infinito) de Banach $X$ es diferente de la topología débil, pues $X$ está acotado localmente. Dado que la topología determina la convergencia, ¿puedo conseguir que la convergencia débil sea equivalente a la convergencia original en cualquier espacio de Banach (infinito)? Gracias.

Answer 1

He aquí un buen contraejemplo a tener en cuenta, utilizando únicamente el análisis básico de Hilbert.

Dejemos que $E$ sea un espacio de Hilbert de dimensión infinita, con $(e_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ una base de Hilbert. Considere $x \in E$ Entonces, $$||x||^{2} = \sum_{n \in \mathbb{N}} |\langle x, e_{n} \rangle |^{2}$$ y por lo tanto, la secuencia real $(\langle x, e_{n} \rangle )$ converge a $0$ (tenga en cuenta que $E' = E$ desde $E$ es un espacio de Hilbert), lo que demuestra el hecho de que la secuencia $(e_{n})$ es débilmente convergente a $0$ . Sin embargo, como $||e_{n}|| = 1$ por cada $n$ esta secuencia no converge (fuertemente) a $0$ .