Estoy estudiando la analítica funcional y me sigo preguntando si hay algunas inclusiones entre el espacio de la función continua y $L^p$ espacios (pronto aparecerá una pregunta similar sobre $C_b$ y $C_c$ pero centrémonos en el supuesto caso más sencillo).
Así que la pregunta es: ¿se considera $\Omega$ un conjunto abierto acotado en $\mathbb{R}^n$ y considerar respectivamente $C^0(\bar{\Omega})$ y $L^p(\Omega)$ (donde $p\in [1,+\infty]$ ).
Mi idea: por la propiedad de anidamiento de $L^p(\Omega)$ ( $\Omega$ por construcción tiene medida de Lebesgue finita), si $p<q$ entonces $L^q(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ . Por lo tanto, es suficiente con probarlo para $L^{\infty}(\Omega)$ . Pero ahora es bastante sencillo ver que si $f\in C^0(\bar\Omega)$ entonces $\left\lVert f\right\rVert_{\infty,\bar{\Omega}}=\left\lVert f\right\rVert_{L^{\infty}}$ . Así tenemos la inclusión $C^0(\bar\Omega)\subset L^{\infty}(\Omega)$ Así que $C^0(\bar\Omega)\subset L^p(\Omega)$ .
¿Es cierto? ¿Me estoy perdiendo algo muy simple? Traté de buscar en la literatura sobre estos resultados, pero tal vez es obvio o totalmente equivocado, vamos a ver.
Por último, también me preguntaba si con esto puedo concluir fácilmente que $C^k(\bar\Omega)\subset L^p(\Omega)$ , como $C^k(\bar\Omega)\subset C^0(\bar\Omega)$ por la construcción. Si los cálculos anteriores son correctos debería seguirse inmediatamente, pero pregunto con seguridad.
Cualquier pista, corrección, solución o referencia será muy apreciada, gracias de antemano.
