Tengo una pregunta para la que no he podido encontrar una referencia y que explico de la siguiente manera:
Recordemos que un conjunto de reales $X$ es $\kappa$ -denso si entre dos números reales cualesquiera hay exactamente $\kappa$ elementos de $X$ . En 1971, Baumgartner presentó un documento (All $\aleph_1$ -conjuntos densos de reales pueden ser isomorfos) en el que demostró que la siguiente afirmación es consistente con ZFC:
(1) Cada dos $\aleph_1$ -Los conjuntos densos de reales son de orden isomorfo.
También se sabe que la afirmación anterior es una consecuencia del APE (Axioma de Forzamiento Adecuado). Una prueba de este hecho por Todorcevic se puede encontrar en su libro de 1989 Problemas de partición en topología .
A continuación explicaré cómo se relaciona esto con la base para los ordenamientos lineales incontables:
Recordemos que una clase $\mathscr{B}$ de los ordenamientos lineales es un base para una clase de ordenamientos lineales $\mathscr{L}$ si $\mathscr{B}\subseteq\mathscr{L}$ y para cualquier ordenación lineal $L$ tenemos que $L\in\mathscr{L}\iff$ hay un $B\in\mathscr{B}$ tal que $B\preceq L$ .
( $B\preceq L$ sólo significa que hay un mapa que preserva el orden desde $B$ en $L$ ).
En el caso particular de los ordenamientos lineales incontables, un resultado reciente de J. Moore nos dice que existe una base de cinco elementos para los ordenamientos lineales incontables (A five element basis for the uncountable linear orderings, Anales de Matemáticas 163 , 2005).
En este documento, la afirmación (1) se presenta como una consecuencia de PFA sobre el teorema 1.1. Lo que no puedo entender es la siguiente parte:
En particular, si X es un conjunto de reales de cardinalidad $\aleph_1$ , entonces X sirve como base de un solo elemento para la clase de incontables órdenes lineales separables.
que es aparentemente una consecuencia de la afirmación (1). En su libro de 2007 Paseos por los ordinales y sus características Todorcevic incluso atribuye a Baumgartner que la afirmación anterior es una consecuencia de la ALP.
Esto parecía una tarea fácil, sin embargo, no he podido probarlo. Lo que he tratado de hacer es tomar un conjunto arbitrario de reales $X$ de cardinalidad $\aleph_1$ y "extenderlo" a un conjunto $Y$ tal que $Y$ es $\aleph_1$ -denso y $X\preceq Y$ , entonces para cualquier ordenamiento lineal separable incontable, encontraría de alguna manera un $\aleph_1$ -que se incrusta en él, entonces el resultado se desprende de la afirmación (1).
