$\int\frac1{(1+x^2)^3}\,dx$ sin Hermite

Question

$$\int\frac1{(1+x^2)^3}\,dx$$ Sé que se puede integrar con polinomios de Hermite, pero me gustaría encontrar otro método, posiblemente de sustitución. Creo que el correcto es $x=\arctan y$ . El problema es que no sé cómo manipular los términos para seguir los pasos correctos, y el orden correcto para simplificar los factores, ¿podríais ayudarme? Gracias.

Answer 1

Una pista:

utilizar (dos veces) el fórmula de reducción : $$ \int \frac{dx}{(x^2+a^2)^n}=\frac{x}{2a^2(n-1)(x^2+a^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^{n-1}} $$

(con $a=1$ y $n=3$ )

Answer 2

Consideremos la integral alternativamente más simple,

$$I_a(x)=\int\frac1{a+x^2}{\rm~d}x=\frac1{\sqrt a}\arctan\frac x{\sqrt a}+C$$

Tomar 2 derivadas con respecto a $a$ y tenemos

$$\int\frac2{(a+x^2)^3}{\rm~d}x=\frac{\partial^2}{\partial a^2}\frac1{\sqrt a}\arctan\frac x{\sqrt a}+C$$

Answer 3

Podemos intentar $x=\tan (u)$ y $dx = \sec^2 (u) \,du$

$$\int \frac{\sec^2 (u) \, du}{\sec^6( u)} = \int \cos^4 (u) \, du$$

Ahora intente la integración por partes

$$I=\sin (u) \cos^3 (u) - 3\int \sin^2( u) \cos^2 (u)\, du$$

La última integral $\sin^2(u) \cos^2(u)$ puede escribirse en términos de $\frac{\sin^2(2u)}{4}$ y luego quizás utilizar $\sin^2(2u) = \frac{1-\cos(4u)}{2}$ . Esto lleva a

$$I=\sin (u) \cos^3 (u) - \frac{3}{8}\int (1-\cos(4u))\, du\\ = \sin (u) \cos^3 (u) - \frac{3}{8}u + \frac{3}{32}\sin(4u)+c$$