Si $a+\frac1a=\sqrt3$ entonces $a^4+\frac1{a^4}=\ ?$

Question

Si $a+\frac1a=\sqrt3$ entonces $a^4+\frac1{a^4}=\ ?$

¿Puede alguien explicarme cómo resolver esto? porque he intentado todo lo que sé y no ha funcionado.

P.D: Estoy en 8º grado, así que no hay fórmula cuadrática.

Answer 1

Tenemos estas identidades. (¿Ves por qué son ciertas? Pista: FOIL. O, si has aprendido $``{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2} ``$ ).

$$\left(a+\frac1a\right)^2=\left(a^2+\frac1{a^2}\right)+2$$

$$\left(a^2+\frac1{a^2}\right)^2=\left(a^4+\frac1{a^4}\right)+2$$

Ahora, conecta $(a+1/a)=\sqrt3$ .

$$\left(\sqrt3\right)^2=\left(a^2+\frac1{a^2}\right)+2$$

Así que $3=(a^2+1/a^2)+2$ y $a^2+1/a^2=1$ .

$$(1)^2=\left(a^4+\frac1{a^4}\right)+2$$

Así que $1=(a^4+1/a^4)+2$ o $a^4+1/a^4=-1$ y hemos resuelto el problema.

Answer 2

Aplique $p^2+q^2=(p+q)^2-2pq$

$$a^4+\frac1{a^4}=\left(a^2\right)^2+\left(\frac1{a^2}\right)^2$$

y en $$a^2+\frac1{a^2}=a^2+\left(\dfrac1a\right)^2$$

Answer 3

$$3=\left(a+\frac 1a\right)^2=a^2+\frac1{a^2}+2$$ así que $$1=a^2+\frac1{a^2}$$

Vuelve a hacer la misma manipulación y lo consigues.

Pero parece que todo eso es imposible para un número real $a$ ...

Answer 4

$$\left(a^n+\frac1{a^n}\right)\left(a+\frac1a\right)=\left(a^{n+1}+\frac1{a^{n+1}}\right)+\left(a^{n-1}+\frac1{a^{n-1}}\right)$$

$$\implies a^{n+1}+\frac1{a^{n+1}}=\left(a^n+\frac1{a^n}\right)\left(a+\frac1a\right)-\left(a^{n-1}+\frac1{a^{n-1}}\right)$$

Si $T_m=a^m+\dfrac1{a^m},$

$$T_{n+1}=T_n\cdot T_1-T_{n-1}$$

Tenemos $T_1=\sqrt3,T_0=2$ como $a\ne0$

Answer 5

Ampliar $\left(a + \frac{1}{a}\right)^4$ mediante el uso de papel de aluminio, utilizando repetidamente el famoso resultado $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ (que es lo mejor en este caso) o como he hecho yo, puedes usar el teorema del binomio con la ayuda de triángulo de pascal : $$\left(a + \frac1{a}\right)^4 = \left(\sqrt{3}\right)^4\\ \\ a^4 + 4\cdot a^3\frac{1}{a} + 6\cdot a^2\left(\frac{1}{a}\right)^2 + 4\cdot a\left(\frac{1}{a}\right)^3 + \left(\frac{1}{a}\right)^4 = 3^{4/2}\\ a^4 + 4a^2 + 6 + \frac{4}{a^2} + \frac{1}{a^4} = 3^2\\ a^4 + \frac{1}{a^4} + 4\left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right) = 9 - 6\\ a^4 + \frac{1}{a^4} + 4\left(\Big(a + \frac{1}{a}\Big)^2 - 2\, a\frac{1}{a}\right) = 3\\ a^4 + \frac{1}{a^4} + 4\left((\sqrt{3})^2 - 2\right) = 3\\ \therefore \quad a^4 + \frac{1}{a^4} = 3 - 4\cdot(3-2) = -1 $$ Lo que ves arriba es una respuesta visceral a esta pregunta, si has prestado atención, te darás cuenta de mi uso de $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ y la importante sustitución de $a + \frac{1}{a} = \sqrt{3}$

Hay muchas formas de hacer álgebra. Los resultados importan más que el método. La intuición importa más que cualquier otra cosa.