Demuestre que la secuencia converge a $\infty$ o $-\infty$

Question

$x_n = n - 3n^2$ como $x_n \to \infty$

Este es el teorema que debo utilizar:

Dejemos que $x_n$ sea una secuencia de números reales:

i) $x_n$ se dice que diverge a $+\infty$ si y sólo si para cada $M \in \mathbb{R}$ hay un $N\in\mathbb{N}$ tal que $n \geq N$ implica $x_n \gt M$

ii) la lógica es similar para $-\infty$

Mi intento:

Dejemos que $M$ sea cualquier número real que sea un número natural entonces $N \gt$ max{m} implica para $n\gt N$ $$n(1-3n) \leq N(1-3N) \gt M$$

que se acerca a $\infty$

Me parece que faltan algunas conectivas lógicas y que el uso de la definición puede no ser correcto, especialmente con el "max ${M}"$

Answer 1

Si $M>0$ , toma $N\in\mathbb N$ tal que $3N-1>M$ . Entonces, si $n\geqslant N$ , usted tiene $$\begin{align}n-3n^2&=n(1-3n)\\&<1-3n\text{ (since $n\geqslant1$ and $1-3n<0$)}\\&<1-3N\\&<-M.\end{align}$$ Esto demuestra que, por definición, $\lim_{n\to\infty}n-3n^2=-\infty$ .

Answer 2

Dejemos que $n \gt 1$ .

$x_n =n-3n^2 <n-3n=-2n$ ;

Dejemos que $M >0$ , $M$ real.

Principio de Arquímedes:

Hay un $n_0 \in \mathbb{Z^+}$ s.t.

$n_0 \gt M/2$

Para $n \ge n_0$

$x_n < -2n <-2n_0 < - M$ .

Answer 3

Yo escribiría $$x_n=n-3n^2=n^2\left(\frac{1}{n}-3\right)$$ esto tiende a $-\infty$