Producto tensorial de dos irreducibles $\mathfrak sl_2$ módulos

Question

Sé que dado un irreducible $\mathfrak sl_2$ módulo $V$ Es decir, es $V\cong V(m), m\in \mathbb Z_+$ cuya base $(v_0,\cdots,v_m$ ) es tal que:

$$H\cdot v_j = (m-2j)v_j, Y\cdot v_j = (j+1)v_{j+1}, X\cdot v_j = (m-j+1)v_{j-1}, \mbox{for } j\geq 0 \mbox{ and }v_{-1} = 0 $$

y $V(m) = \bigoplus^m_{k= -m} V_{m-2k}$ .

Ahora bien, dado $V=V(m), W=W(n)$ irreducible $\mathfrak sl_2$ módulos, por qué es que $V\otimes W \cong V({m+n})\oplus \cdots \oplus V({|n-m|})$ ?

Bien, podemos elegir tal base para $V$ y $W$ respectivamente: $(v_0,\cdots, v_m)$ y $(w_0,\cdots, w_n$ ). Entonces el conjunto $v_i\otimes w_j, 0\leq i \leq n, 0 \leq j \leq m ,$ es una base para el producto tensorial $V\otimes W$ . Bien, ahora aplicando un elemento de la subálgebra de Cartan nos da:

$H\cdot v_i\otimes w_j = (m+n-2(i+j))v_i\otimes w_j.$

Desde $i+j$ se encuentra en el conjunto $\{1,2,\cdots, n+m\}$ se deduce que el valor propio de $v_i\otimes w_j$ también se encuentra en el conjunto $\{n+m, n+m-2, \cdots, -n-m+2,-n-m\}$ . Ahora, ¿cómo proceder a partir de aquí? Buscando lo que tenemos que probar, vemos que ya no hay valores propios negativos; ¿por qué? ¿alguna pista sobre cómo proceder?

Answer 1

Definir el carácter $\text{ch}_V$ de una representación (de dimensión finita) representación de $\frak sl_2$ como $\sum_k \dim E_k(V) t^k$ donde $E_k(V)$ es el eigespacio de $H$ actuando sobre $V$ para el valor propio $k$ . Entonces $\text{ch}(V\oplus W) =\text{ch}(V)+\text{ch}(W)$ y $\text{ch}(V\otimes W) =\text{ch}(V)\text{ch}(W)$ . También $$\text{ch}(V(n))=t^n+t^{n-2}+t^{n-4}+\cdots +t^{-n}=\frac{t^{n+1}-t^{-n-1}} {t-t^{-1}}.$$ Los caracteres para el $V(n)$ son linealmente independientes, y el determina una representación hasta el isomorfismo.

Dejemos que $n\ge m$ . Entonces \begin{align} (t-t^{-1})\text{ch}(V(n))\text{ch}(V(m))&=(t^{n+1}-t^{-n-1}) (t^m+t^{m-2}+\cdots+t^{-m})\\ &=(t^{m+n+1}-t^{-m-n-1})+(t^{m+n-1}-t^{-m-n+1})+\cdots +(t^{m-n+1}-t^{-m+n-1})\\ &=(t-t^{-1})(\text{ch}(V(m+n))+\text{ch}(V(m+n-2))+\cdots+\text{ch}(V(m-n))) \end{align} y así $$V(n)\otimes V(n)\cong V(m+n)\oplus V(m+n-2)\oplus\cdots\oplus V(m-n).$$