Encuentre $m$ y $n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos

Question

Dejemos que $m$ y $n$ sean enteros positivos. Supongamos que $P$ es el producto de todas las soluciones de la ecuación $$8\log_m(x)\log_n(x) -7\log_m(x) - 6\log_n(x)-2017 = 0.$$

Supongamos que $P\in\mathbb Z.$ Encuentre $m$ y $n$ tal que $P$ ¿Min?

Answer 1

Sugerencia :

Por identidad logarítmica $\log_xy=\frac{\log y}{\log x}$ . Podemos escribir su ecuación como $$\frac{8\log^2x}{\log m \log n} - \frac{7\log x}{\log m} - \frac{6\log x}{\log n} = 2017$$

Ahora pon $\log x = y$ por lo que obtendrás una ecuación cuadrática. $$\implies 8y^2 - y(7\log n + 6\log m) = 2017\log m \log n.$$

Y ahora puedes diferenciar y encontrar los mínimos ya que esto es una parábola de trazado ascendente.