Ejemplo explícito del segundo lema de Borel-Cantelli

Question

Considere el modelo de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ donde $\Omega = [0,1]$ , $\mathcal{F}$ es el Borel $\sigma$ -álgebra en $[0,1]$ y $P$ es la medida uniforme en $[0,1]$ .

Dejemos que $E_1, E_2, \dots$ sea una secuencia de eventos independientes en $\mathcal{F}$ tal que $P(E_n) = 1/n$ .

Desde $\sum P(E_n) = \infty$ por el segundo lema de Borel-Cantelli ( Wikipedia ), $$ P(\bigcap_{k=1}^\infty \bigcup_{n=k}^\infty E_n) = 1. $$

Mi pregunta es:

¿Existe algún ejemplo explícito de este tipo de $E_n \subset [0,1]$ ?

El ejemplo más famoso de eventos independientes en $[0,1]$ son los intervalos diádicos: Definir

$D_1 = [0, 2^{-1}]$

$D_n = 2^{-1}D_{n-1} + (2^{-1}+2^{-1}D_{n-1}) $

$(D_n)_{n =1}^\infty$ es una secuencia de eventos independientes. Sin embargo, para este ejemplo, $P(D_n) = 1/2^n$ .

¿Hay algún ejemplo explícito para $P(E_n) = 1/n$ ?

Answer 1

Todos los números irracionales en $(0,1)$ tienen una representación única como $\sum_{k=2}^\infty c_k/k!$ , donde $c_k\in \{0,1,\dots,k-1\}$ . Dígitos $c_k$ son independientes, por lo que puede elegir los eventos $E_n$ como ' $c_n=0$ ', por ejemplo.

Answer 2

La construcción de un ejemplo de este tipo equivale esencialmente a una descomposición explícita del intervalo unitario $(\Omega,P)$ en un producto de espacios de probabilidad. Por ejemplo, se puede tomar un isomorfismo entre $(\Omega,P)$ y su producto infinito contable por sí mismo $(\Omega,P)\times(\Omega, P)\times \dots$ . [Desde $(\Omega,P)$ es un producto contable del espacio diádico $\{0,1\}$ dotado de la medida uniforme por sí mismo, un reordenamiento explícito de los dígitos binarios proporcionará entonces un isomorfismo requerido]. Ahora, como se sugirió en el comentario de Alex.B, basta con tomar en cada uno de los multiplicadores un conjunto de cualquier medida que se quiera.

Answer 3

Es incómodo construir un evento de prob 1/17, por ejemplo, a partir de cifras diádicas, o incluso decimales. Como quieres un ejemplo de borel cantelli en el intervalo de la unidad, por qué no cambias tus probabilidades para que el punto sea el mismo pero la construcción sea más fácil. Haz por ejemplo $E_{17}$ un conjunto de probabilidades $[1000/17]/1000 = .058$ . Entonces su evento podría ser dígitos decimales 49 -51 cuando se coloca en ese orden son un número < 58.