Si un elemento $g \in G$ tiene $|g| = |G|$ , entonces es $g$ automáticamente el generador cíclico de $G$ ?

Question

¿Es la siguiente afirmación cierta para todos los grupos en general? Si el orden de un elemento $g \in G$ es igual a $|G|$ entonces $G = <g>$ ?

Y por tanto, si un grupo no tiene un elemento que sea del mismo orden que el propio grupo, entonces no puede ser cíclico.

Answer 1

Para cada $g \in G$ tenemos $\langle g \rangle \le G$ . Pero si $G$ es un grupo finito y $|g|=|G|$ entonces tenemos que $\langle g \rangle$ está contenida en un grupo del mismo orden que ella misma, por lo que debe ser el propio grupo. Por lo tanto, $\langle g \rangle = G$ .

Por otro lado, para $G$ para ser cíclico debe tener un generador, es decir, un elemento $g \in G$ s.t. para cada $a \in G$ existe un número natural $n$ s.t. $g^n = a$ . Esto implica que el orden de $g$ es mayor o igual que $|G|$ . Pero como $|g|$ dividir $|G|$ debemos tener $|g| = |G|$ .

Por lo tanto, un grupo finito $G$ es cíclico si existe un elemento $g \in G$ s.t. $|g| = |G|$

Answer 2

Sí. Si $A\subseteq B$ y $A$ y $B$ son conjuntos finitos de igual cardinalidad, entonces claramente $A=B.$ El resultado se deduce ahora ya que el subgrupo generado por $g,$ que es por definición cíclica, tiene el mismo número de elementos que $G.$

Answer 3

Sí para finito grupos (esto puede no aplicarse para cardinalidades infinitas), si el orden de $g$ es $|G|$ entonces sería una contradicción asumir de otra manera que $g$ no es el generador cíclico de $G$ . $g^n$ produce $n$ diferentes elementos (incluida la identidad). Por definición, $<g>$ es un subgrupo con la misma cardinalidad que $G$ , por lo que debe ser que $$<g> = G$$