Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\Bbb R$ y que $T :V \to V$ sea una transformación lineal. Sea $A$ sea la matriz de $T$ con respecto a la base estándar de $V$ . Para cada una de las siguientes afirmaciones, indique si es verdadera o no. Si la afirmación es verdadera, justifique brevemente por qué es así; en caso contrario, proporcione un contraejemplo.
(a) Si $T$ es diagonalizable entonces cada uno de sus valores propios tiene multiplicidad algebraica igual a $1$ .
(b) Si ninguno de los valores propios de $T$ son cero, entonces el determinante de $A$ no es cero.
(c) Si $v_1$ y $v_2$ son vectores propios de $T$ asociados a los valores propios $\lambda_1$ y $\lambda_2$ respectivamente, entonces $v_1 + v_2$ es un vector propio de $T$ con el valor propio asociado $\lambda_1 + \lambda_2$ .
Para (a) di un contraejemplo y dije que era falso. ¿Es ésta la respuesta correcta?
Para (b) creo que es correcto ya que el determinante del polinomio característico de $A$ sólo puede ser cero si no hay ningún valor propio. ¿Es esto correcto? Si es así, ¿hay algún teorema que lo demuestre?
Para (c) dije que es falso ya que los valores propios sumados no forman un nuevo valor propio para $T$ ¿es esto correcto?
Gracias por la ayuda.
