Demostrar una condición para que un álgebra de Banach sea isométricamente isomorfa a $\mathbb C$

Question

¿Puede alguien ayudarme proporcionando una verificación detallada del siguiente teorema?

Dejemos que $\mathcal{A}$ sea un álgebra de Banach. Si existe $M<+\infty$ para que $$\Vert a \Vert\Vert b \Vert\leq M \Vert ab \Vert,$$ $$(a,b\in\mathcal{A})$$ entonces $\mathcal{A}$ es isométricamente isomorfo con $\mathbb{C}.$

Answer 1

Supongamos que $A$ es unital (si no, podemos tomar $A$ para que sea de dimensión cero). Tenemos que demostrar que cada elemento no nulo $x$ es invertible y luego aplicar el teorema de Gelfand-Mazur. El conjunto de elementos no invertibles es cerrado. Si contiene cualquier elemento no nulo $x$ entonces su frontera también contiene algún elemento no nulo, llámalo $y$ . Desde $y$ es un punto límite, es un límite de una secuencia de elementos invertibles $(y_n)$ . De nuestras suposiciones deducimos que $\|y_n\| \cdot \|y_n^{-1}\| \leqslant M$ , por lo que la secuencia $(\|y_n^{-1}\|)$ está acotado; esto significa que $y = \lim_{n \to \infty} y_n$ también es invertible y esto es una contradicción. La explicación es que $\|e - y_n^{-1}y\| \leqslant \|y_n^{-1}\| \cdot \|y_n -y\| < 1$ para un tamaño suficientemente grande $n$ Así que $y_n^{-1}y$ es invertible para tal $n$ .