Factorización en el álgebra de grupos simétricos

Question

Dejemos que $S_n$ sea el grupo simétrico en $\{1, \ldots, n\}$ . Sea \begin{align} T=\sum_{g\in S_n} g. \end{align}

¿Existen referencias sobre la factorización de $T$ ?

En el caso de $n=3$ tenemos \begin{align} & T=1 + (12) + (23) + (12)(23) + (23)(12) + (12)(23)(12) \\ & = 1 + (12) + (23) + (12)(23) + (23)(12) + (23)(12)(23) \\ & = (1 + (12))((12) + (23) + (23)(12)) \\ & = (1 + (23))((12) + (23) + (12)(23)). \end{align} ¿Se ha estudiado este problema en algunas referencias?

Muchas gracias.

Edición: el álgebra de grupo que considero es $\mathbb{C} S_n$ .

Answer 1

Una famosa factorización es $(1+X_1) (1+X_2) \cdots (1+X_n)$ donde $X_1=0$ , $X_k= (1,k)+(2,k)+\cdots +(k-1,k)$ para $2\leq k\leq n$ . $X_k$ se llama Elemento Jucys-Murphy aunque esta factorización se debe a Alfred Young en 1902. Jucys dio la $q$ -analógico $$ (q+X_1)(q+X_2)\cdots(q+X_n) =\sum_{\pi\in S_n} q^{c(\pi)}\pi, $$ donde $c(\pi)$ denota el número de ciclos de $\pi$ . Véase, por ejemplo https://en.wikipedia.org/wiki/Jucys-Murphy_element .

Otra factorización útil es $T_2T_3\cdots T_n$ , donde $$ T_k = \sum_{j=1}^k (k,k-1,\dots,k-j+1). $$ Esto también tiene un $q$ -analógico: $$ T_2(q)T_3(q)\cdots T_n(q) = \sum_{\pi\in S_n} q^{\mathrm{inv}(\pi)} \pi, $$ donde $\mathrm{inv}(\pi)$ es el número de inversiones de $\pi$ y $$ T_k(q) = \sum_{j=1}^k q^{j-1}(k,k-1,\dots,k-j+1). $$ Zagier en 1992 encontró una factorización profunda de $T_k(q)$ que fue utilizado por Philip Hanlon y por mí en http://math.mit.edu/~rstan/papers/qdef.pdf (véase el teorema 2.1).

Answer 2

Si se considera T como un elemento del álgebra de grupo $\mathbb{C}[S_n]$ y esta última como un producto de álgebras matriciales, una por cada irrep. no equivalente de $S_n$ entonces $T$ es simplemente el elemento escalar $n!$ en la representación trivial y es $0$ en todos los demás.

Answer 3

Esta es una de esas expresiones para $T$ (hay infinitas posibilidades): para cada $n,$ dejar $U_{n} = \sum_{x \in \langle (12 \ldots n) \rangle} x$ . Entonces $T = U_{2}U_{3}\ldots U_{n-1}U_{n}$ para cada $n$ . La prueba es una inducción fácil, el resultado es claro cuando $n = 2$ . Si $n > 2,$ entonces por inducción tenemos $U_{2} \ldots U_{n-2}U_{n-1} = \sum_{y \in S_{n-1}} y.$ Ya que, (como se señala en los comentarios), tenemos $S_{n-1} \langle (12 \ldots n) \rangle$ ( donde esta vez consideramos $S_{n-1}$ como el estabilizador de $n$ ), vemos que $T = U_{2}U_{2} \ldots U_{n-1}U_{n}.$

Answer 4

Para una factorización diferente debida a Diaconis, véase por ejemplo aquí Observación 2.1.4. Véanse también otras referencias al respecto.