Estoy trabajando en el número de Bernoulli. Aprendí la definición del número de Bernoulli en el libro de un matemático japonés. El nombre del libro es Teoría de los números 1: El sueño de Fermat . El libro define el número de Bernoulli mediante la fórmula $\dfrac{x}{e^x-1}=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{B_n}{n!}x^n$ . Y define un operador lineal $D:\mathbb{C}[x]\rightarrow\mathbb{C}[x]:f(x)\rightarrow \dfrac{d}{dx}f(x)$ y $e^D=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{D^n}{n!}$ . Y dice que $D=(e^D-1)\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{B_n}{n!}D^n$ . Mi confusión es que por qué la última ecuación es correcta?
Respuesta
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Por definición y utilizando el producto de Cauchy, $$ x = (e^x - 1)\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{B_n }}{{n!}}x^n } = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{x^n }}{{n!}}} \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{B_n }}{{n!}}x^n } = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n-1} {\binom{n}{k}B_k } } \right)\frac{{x^n }}{{n!}}} . $$ Así, comparando los coeficientes de potencias similares de $x$ , $$\tag{1} \sum\limits_{k = 0}^{n-1} {\binom{n}{k}B_k } = 0 $$ si $n\neq 1$ y cuando $n=1$ , $B_0=1$ . Por lo tanto, $$ (e^D - 1)\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{B_n }}{{n!}}D^n } = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{D^n }}{{n!}}} \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{B_n }}{{n!}}D^n } = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n-1} {\binom{n}{k}B_k } } \right)\frac{{D^n }}{{n!}}} =D $$ donde utilizamos $(1)$ en el último paso.
