límite de y la integral que depende de n

Question

¿Puede alguien darme algunos consejos sobre cómo encontrar el siguiente límite, por favor? $$\ \lim_{n\to \infty} \int_{0}^4 \sqrt[n]{x^n+(4-x)^n} dx $$ Encontré que $$\int_{0}^4 \sqrt[n]{x^n+(4-x)^n} =2\int_{0}^2 \sqrt[n]{x^n+(4-x)^n} $$ pero no sé cómo determinar algunas desigualdades para encontrar el límite con el teorema del apretón.

Answer 1

Tenga en cuenta que el p-norma de un vector 2D se define como $$ \left\| {\bf x} \right\|_{\,p} = \left( {x_{\,1} ^{\,p} + x_{\,2} ^{\,p} } \right)^{\,1/p} $$ y se sabe que $$ \mathop {\lim }\limits_{p\, \to \,\infty } \left\| {\bf x} \right\|_{\,p} = \left\| {\bf x} \right\|_{\,\infty } = \max \left\{ {\left| {x_{\,1} } \right|,\left| {x_{\,2} } \right|} \right\} $$

Por lo tanto, $$ \eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{n\, \to \,\infty } \,\;\int_{x = 0}^{\,4} {\root n \of {x^{\,n} + \left( {4 - x} \right)^{\,n} } dx} = \cr & = \,\;\int_{x = 0}^{\,4} {\left( {\mathop {\lim }\limits_{n\, \to \,\infty } \root n \of {x^{\,n} + \left( {4 - x} \right)^{\,n} } } \right)dx} = \cr & = \,\;\int_{x = 0}^{\,4} {\left( {\max \left\{ {\left| x \right|,\left| {4 - x} \right|} \right\}} \right)dx} = \cr & = \,\;2\int_{x = 0}^{\,2} {\left( {4 - x} \right)dx} = \,\;2\int_{x = 2}^{\,4} {x\,dx} = 12 \cr} $$

Answer 2

Pista: suponiendo que el comentario de Mark sea correcto, $2^{1/n}\max(x,4-x) \geq (x^n+(4-x)^n)^{1/n} \geq \max(x,4-x)$

Answer 3

NO UNA SOLUCIÓN:

No sé si esto será de ayuda. Yo empezaría por reposicionar el integrando:

\begin{equation} I = \int_0^2 \sqrt[n]{x^n + \left(4 - x\right)^n}\:dx = \int_0^2 (4 - x) \cdot \sqrt[n]{\left(\frac{x}{4 - x}\right)^n + 1}\:dx \end{equation}

Ahora dejemos que $t = \dfrac{x}{4 - x}$ :

\begin{equation} I = \int_0^1 \frac{4}{t + 1}\sqrt[n]{t^n + 1}\frac{4}{\left(t + 1\right)^2}\:dt = 16 \int_0^1 \frac{\sqrt[n]{t^n + 1}}{\left(t + 1\right)^3}\:dt \end{equation}

Dejaré que las mentes cualificadas vayan más allá. Si para funciones reales continuas el límite de una integral definida (con límites que no presentan la variable bajo el límite) es igual a la integral del límite del integrando, es decir

\begin{equation} \lim_{n\rightarrow \infty} 16 \int_0^1 \frac{\sqrt[n]{t^n + 1}}{\left(t + 1\right)^3}\:dt = 16 \int_0^1 \left[ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{t^n + 1}}{\left(t + 1\right)^3}\right]\:dt \end{equation}

Entonces,

\begin{align} I = 16 \int_0^1 \left[ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{t^n + 1}}{\left(t + 1\right)^3}\right]\:dt = 16 \int_0^1 \left[ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{t}{\left(t + 1\right)^3}\right]\:dt = \frac{1}{8} \end{align}

Pero no estoy seguro de que sea correcto o no. Como antes, lo dejaré en manos de mentes más cualificadas.