Si $f(1)=2\int_{0}^{1/2}e^{1-x}f(x)dx$ demostrar que existe $c\in(0,1)$ tal que $f(c)=f'(c)$ .

Question

$f$ es continua en $[0,1]$ y diferenciable en $(0,1)$ . $$f(1)=2\int_{0}^{1/2}e^{1-x}f(x)dx\leq2e\int_{0}^{1/2}f(x)dx=ef(c_1)$$ donde $c_1\in(0,1/2)$ . Entonces pensé en dejar $g(x)=e^{1-x}f(x)$ por lo que, al diferenciarse, daría como resultado $e^{1-x}(-f(x)+f'(x))$ que se parece a la ecuación mencionada en la pregunta ¿Estoy en el camino correcto? ¿Cómo las relaciono? Gracias.

Answer 1

Dejemos que $$F(x)=\int_{0}^{x} e^{1-x}f(x)$$ dado $$\frac{f(1)}{2}=\int_{0}^{1/2}e^{1-x}f(x)dx$$ $$\frac{f(1)}{2}=F(1/2)$$ por lo que vemos $F(1/2)=f(1)/2$ , $F(0)=0$ , $F'(1)=0$ por lo que por LMVT existe algún $d \in 0,1/2)$ para lo cual $$F'(d)=\frac{F(1/2)-F(0)}{1/2}=f(1)$$ Ahora, por el teorema de Rolles, hay algún $c \in (d,1/2)$ para lo cual $$F''(c)=0$$ . $$e^{1-x}(f'(c)-f(c))=0$$ $$f'(c)=f(c)$$