Valor propio mínimo y máximo

Question

Dejemos que $\Lambda$ sea un valor real, positivo definido y simétrico $n\times n$ matriz con valores propios ordenados $0<\lambda_1\le\dots\le\lambda_n$ . Para cualquier vector unitario $y$ podemos construir otra matriz de la siguiente manera: $$M = \Lambda - \frac{(\Lambda y)(\Lambda y)^t}{y^t\Lambda y}$$ M es simétrico y semidefinido positivo con un vector propio cero $y$ .

La pregunta: ¿qué se puede decir de los demás valores propios? Por ejemplo, como M es simétrico, todos los demás vectores propios serán perpendiculares a $y$ . Tome cualquier $x$ entonces $$x^tMx = x^t\Lambda x - \frac{(y^t\Lambda x)^2}{y^t\Lambda y}\le \lambda_n x^tx$$ y concluimos que los otros valores propios no pueden superar al mayor de $\Lambda$ . ¿Es lo mismo para el menor valor propio, es decir, el menor valor propio no nulo de $M$ es al menos tan grande como el menor valor propio de $\Lambda$ ?

Answer 1

En resumen, la respuesta es sí. En realidad se puede demostrar que existe un ordenamiento de los valores propios de las dos matrices. La prueba es fácil; basta con utilizar el teorema min-max, que establece que para vectores distintos de cero $x$ :

$$\lambda_k=\min_{U}\max_{x\in U, \dim U=k}\frac{x^t\Lambda x}{{||x||}^2}$$

pero como sabemos que:

$$\frac{x^t\Lambda x}{{||x||}^2}\geq \frac{x^tM x}{{||x||}^2}$$

El resultado de que el k-ésimo mayor valor propio de $\Lambda$ supera a la de $M$ fácilmente lo siguiente:

$$\lambda_k\geq \mu_k$$

donde $\Lambda x_k=\lambda_kx_k$ , $M y_k=\mu_ky_k$ y los valores propios están ordenados.