Prueba $|\det A| \leq \prod_{j=1}^n ||a_j||$

Question

Digamos que A es una matriz cuadrada de n por n. || $x$ ||= $x^T x$ y x es una norma real de n columnas. ¿Cómo se puede demostrar esto? Intenté usar la factorización QR aquí para mostrar que || $a_j$ ||=|| $r_j$ ||, pero no estoy seguro de hasta dónde te llevará eso.

Answer 1

Dejemos que $A=QR$ sea la factorización QR de $A$ con $R=[r_1,\ldots,r_n]$ . Entonces el Sr. Hadamard dice que $$ \left|\,\det A\,\right| = \left|\,\det QR\,\right| = \left|\,\det Q\,\right|\;\left|\,\det R\,\right| = \left|\,\det R\,\right| = \prod_{i=1}^n\left|\,r_{ii}\,\right| \leq \prod_{i=1}^n\|r_i\|=\prod_{i=1}^n\|a_i\|. $$