Secuencia de probabilidades

Question

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es $P(X=k)=p_k,k=0,1,2,...$ y $\frac{p_k}{p_{k-1}}=a+\frac{b}{k}$ . Si $p_0=\frac{1}{9},p_1=p_2=\frac{4}{27}$ lo que se puede decir de la secuencia de probabilidades ${p_0,p_1,p_2,...}$

Mi intento:Poner los valores de $p_0,p_1,p_2$ en $\frac{p_k}{p_{k-1}}=a+\frac{b}{k}$ obtenemos $a=\frac{2}{3},b=\frac{2}{3}$

¿Pero es la secuencia son términos de cualquier A.P. o G.P. o cualquier secuencia conocida?

Answer 1

Así que la secuencia infinita aquí será:

$$ p_0,p_1,p_2,p_3,...,p_n,... $$

Dados los valores:

$$ \frac{1}{9},\frac{4}{27},\frac{4}{27},\frac{32}{243},\frac{80}{729},... $$

Que yo sepa, esta secuencia no pertenece a ninguna de las siguientes progresiones: aritmética, geométrica o armónica. De hecho,

para $k \in{1,2,3,...}$ que tenemos: $$ p_k =p_{k-1} (a+\frac{b}{k}) $$

La secuencia común de este programa $(a+\frac{b}{k})$ varía con $k$ y cuando $k$ tiende a infinito, la relación de $\frac{p_k}{p_{k-1}}$ convergerá hacia $a=\frac{2}{3}$ .