Cómo probar este Polinomio $g(x)=\sum_{i=1}^{n}a^m_{i}x^i$tiene sólo raíces reales?

Question

Pregunta 1:

vamos Polinomio $f(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{3}a_{i}x^i,$ tiene tres números reales raíces,donde $a_{i}>0,i=1,2,3$.

demostrar que: $$g(x)=\sum_{i=0}^{3}a^m_{i}x^i$$ have only real roots,where $m\in R,m\ge 1$

Yo:

caso (1):

supongamos que $f(x)$ tiene un cero de multiplicidad 3, entonces asumimos

$$f(x)=(x+p)^3=x^3+3x^2p+3xp^2+p^3$$ entonces $$g(x)=x^3+(3p)^mx^2+(3p^2)^mx+(p^3)^{m}=(x+p^m)[x^2+(3^mp^m-p^m)x+p^{2m}]$$

entonces

$$h(x)=x^2+p^m(3^m-1)x+p^{2m}\Longrightarrow \Delta =(p^m(3^m-1))^2-4p^{2m}>0$$ para este caso, $g(x)$ sólo tiene tres raíces reales.

para el caso (2):

deje $f(x)=(x+p)^2(x+q)$,

Yo no puedo probarlo,

y el caso (3):

$$f(x)=(x+p)(x+q)(x+r)$$ y en este caso yo no puedo probarlo también.

Espero que alguien pueda ayudar a resolver este problema ;

Muchas gracias!

Answer 1

Como he explicado en mi comentario, es suficiente para hacer caso (2).

Deje $x,y \ge 0$. A continuación,$(X+x)(X+x)(X+y) = X^3+(2x+y)X^2 + (x^2+2xy)X + x^2y$. El discriminante de $X^3+bX^2+cX+d$ es, según la wikipedia, $\Delta(b,c,d) = b^2c^2-4c^3-4b^3d-27d^2+18bcd$.

La derivada de $m \mapsto \Delta(b^m,c^m,d^m)$ $m=1$ es $$\delta(b,c,d) \\ = (2b^2c^2-12b^3d+18bcd)\log b + (2b^2c^2-12b^3d+18bcd)\log c + (18bcd-4b^3d-54d^2)\log d $$

Conectar $b = 2x+y,c = x^2+2xy,d = x^2y$ nos calcular y obtener $$ \delta(x,y) = 4x^6(\frac yx -1)^3\left(-(2+ \frac yx)\log \frac {(2x+y)^2}{x^2+2xy} + \frac yx \log \frac {(2x+y)^3} {x^2y}\right)$$

$\delta(x,y)/4x^6$ es en realidad una función de $t = \frac yx$ y tiene el mismo signo de $\delta(x,y)$, por lo que es suficiente para estudiar el signo de la función $$g(t) = (t-1)\left(-(2+t)\log \frac{(2+t)^2}{1+2t} + t \log \frac {(2+t)^3}t\right) \\ = (t-1)\left((t-4)\log(2+t) + (2+t)\log(1+2t) - t\log t\right) $$

Dejando $g(t) = (t-1)h(t)$, calculamos el $h'(t) = \log(9+(t- t^{-1})^2) + 2\frac{(t-1)^2}{2t^2+5t+2} \ge \log 9 > 0 $. Desde $h(1) = -3\log3+3\log3-\log1 = 0$, $h(t)>0$ $t>1$, $h(t)<0$ para $t<1$, e $h(1)=0$.

Volviendo a $g$ nos enteramos de que $g(t)>0$, excepto cuando se $t=1$, lo que significa que $\delta(x,y) > 0$, excepto cuando se $x=y$, que es lo que queríamos.

Answer 2

Es realmente una pregunta difícil. Una generalización de este problema de la siguiente manera a partir de un teorema en el famoso libro de Polya y Szego(Libro II, Capítulo 5, Problema 155), que establece:

Si

$$a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n$$

y

$$b_0+b_1 x+\cdots+b_n x^n$$

sólo tienen real ceros, mientras que todos los ceros de la segunda tienen el mismo signo, entonces

$$a_0 b_0+a_1 b_1 x+\cdots+a_n b_n x^n$$

tiene real sólo ceros.

La prueba es complicada, por lo que el préstamo de un ejemplar de la biblioteca se recomienda.

Answer 3

Para la primera pregunta, esto es realmente una pregunta acerca de la derivada. $f$ tiene tres reales ceros si y sólo si su derivada tiene dos ceros, y $f$ es positivo en el menor punto crítico, y negativo en el grande punto crítico [por cierto, estoy dividiendo por $a_3$ hacer el polinomio monic-esto no cambia la cuestión). Esto puede ser comprobado por $g$ por el tedioso cálculo, que dejo a ustedes...