Inexistencia de un isomorfismo del espacio vectorial

Question

Siento que el $\mathbf{Q}$ espacios vectoriales $\prod_{n=0}^\infty \mathbf{Q}$ y $(\mathbf{Z}-0)^{-1}\prod_{n=0}^\infty\mathbf{Z}$ no son isomorfas, ¿cuál es la forma más rápida de demostrarlo? ¿Por medio de un argumento de cardinalidad de base?

Answer 1

Los dos espacios vectoriales son ciertamente isomorfos (aunque no he construido un isomorfismo).

Si un $\mathbf{Q}$ -espacio vectorial $V$ tiene una base infinita $I$ entonces $V$ y $I$ tienen la misma cardinalidad. ( $V$ consiste, más o menos, en todas las secuencias de racionales indexadas por un subconjunto finito de $I$ .)

Como los dos espacios vectoriales que has escrito tienen la cardinalidad del continuo, cualquier base para ellos debe tener también la cardinalidad del continuo. Por tanto, son isomorfos.