Functores de restricción entre categorías O sobre álgebras de Lie semi-simples

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Sea $\mathfrak{g}:= \mathfrak{gl}(3)$ el álgebra lineal general y $\mathfrak{gl}(2) \cong \mathfrak{a} \subset \mathfrak{gl}(3)$ un subálgebra. Sean $\mathcal{O}^{\mathfrak{g}}$ y $\mathcal{O}^{\mathfrak{a}}$ las categorías $\mathcal{O}$ respectivamente. ¿Es cierto que $\mathcal{O}^{\mathfrak{g}} \subseteq \mathcal{O}^{\mathfrak{a} }$? Más precisamente, ¿es cierto que la restricción $\text{Res}^{\mathfrak{g}}_{\mathfrak{a}} (V) \in \mathcal{O}^{\mathfrak{a}} $ si se da que $V\in \mathcal{O}^{\mathfrak{g}}$? ¡Muchas gracias!

(Aquí se da la definición de la categoría $\mathcal{O$ de la siguiente manera. Sea $\mathcal{s}$ un álgebra de Lie semisimple, de dimensión finita sobre $\mathbb{C}$. Fije un subálgebra de Bore $\mathfrak{b}$ de $\mathfrak{g}$. Sea $\mathfrak{h} \subset \mathfrak{b}$ un subálgebra de Cartan de $\mathfrak{g}$ con el nilradical $\mathfrak{n}$. Entonces $W\in \mathcal{O}$ si y solo si (1). $W$ es $\mathfrak{h}$-semisimple. (2). $W$ es localmente $\mathfrak{n}$-finito. (3). $W$ es finitamente generado (como módulo de $\mathfrak{g}$).)

Answer 1

Dado que la respuesta a la pregunta de Tobias es sí, es decir, se toma una incrustación estándar ${\mathfrak g}{\mathfrak l}(2)\subset{\mathfrak g}{\mathfrak l}(3)$, las Propiedades (1) y (2) se conservan, pero (3) en general no: Primero, hay que notar que bajo el supuesto de las Propiedades (1) y (2), la Propiedad (3) es equivalente a que $W$ sea finitamente generado sobre ${\mathfrak n}_-$. Ahora, considera un módulo Verma $V$ sobre ${\mathfrak g}{\mathfrak l}(3)$: Como módulo ${\mathscr U}{\mathfrak n}_-$, es isomorfo al módulo regular ${\mathscr U}({\mathfrak n}_-)$, que (por ejemplo, por PBW) es libre de rango infinito sobre ${\mathscr U}{\mathfrak n}^{\prime}_-$, el álgebra envolvente universal de la parte nilpotente inferior ${\mathfrak n}^{\prime}_-$ de ${\mathfrak g}{\mathfrak l}(2).